专题07函数单调性模块一：函数单调性一般地，设函数的定义域为，区间：⑴增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在
区间上是增函数；⑵减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；2．单调性：如果函数在某个区
间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．3．判断函数单调性的基本方法：⑴定义法：任取，，判
断的正负；⑵图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；⑶复合函数的单调性——同增异减．考点1：具体函数
单调性判断与证明例1.（1）下列函数中，在上为增函数的是A．B．C．D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，为一次函数，在
上为减函数，不符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；对于，，当时，，则
函数在上为减函数，不符合题意；故选：．（2）已知函数．（1）求的定义域、值域利单调区间；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．【解
答】解：（1）由，得，所以的定义域为，，，由，得的值域为，，，的单调递减区间为和（2）在上是减函数，证明如下：，，，，在上是减函数
．（3）试讨论函数，的单调性（其中．【解答】解：设，，且，则：；（3分）；，，，，；；（6分）时，；在上为减函数；（12分）考点2
：抽象函数单调性判断与证明例2.1）定义在的函数满足对于任意的，，，当时，，其中（3）．（1）判断函数的单调性并证明；（2）解不等
式．【解答】（1）在上是增函数．证明：对任意，有，，设，则，则，当时，，当时，，即，则．即在上是增函数．（2）（3），（3）（3）
（6），即（6），（3）（6）（9）（9），即不等式等价为（9），在上是增函数．不等式等价为即，得或，即不等式的解集为，，．2.已
知函数满足对任意的，，有．（1）求（1），的值；（2）若函数在其定义域上是增函数，（2），，求的取值范围．【解答】解：（1）令，则
（1）（1）（1），所以（1），又令，则，所以，（2）因为（4）（2）（2），所以（8）（2）（4），因为，所以（8），因为在上是
增函数所以，即，所以，所以不等式的解集为．3）设定义在上的函数，对于任意正实数、，都有（a）（b），（2），且当时，．（1）求（1
）及的值；（2）求证：在上是减函数．【解答】解：（1）令得（1）（1）（1），得（1），（2），（2）（1），则，得（2）证明：设
，可得，可得，由，可得函数在上是减函数．考点3：已知单调性反求参例3.（1）已知函数是，上的增函数，则的取值范围为A．，B．，C
．，D．，【解答】解：根据题意，函数为开口向上的二次函数，其对称轴为，若函数是，上的增函数，则必有，即的取值范围为，；故选：．（2
）已知在，上是单调函数，则实数的取值范围为．【解答】解：根据题意，为二次函数，其对称轴为，若在，上是单调函数，则有或，解可得或，
即的取值范围为或；故答案为：或．（3）若函数在上是单调递增函数，则取值范围是A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数，分2种情
况讨论：①，当时，，在上为增函数，符合题意；②，当时，函数为二次函数，其对称轴为，若函数在上是单调递增函数，则有，解可得；综合可得
：的取值范围为，；故选：．例4.（1）设函数，其中为常数，若函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围．【解答】设，则，，，若使在上
是减函数，只要，而，所以当，即时，有，所以，当时，在定义域内是单调减函数，即所求实数的取值范围是．（2）已知函数是上的减函数，则实
数的取值范围是A．，B．C．，D．，【解答】解：由题意，在上是减函数，时，其过定点，且时是减函数，对称轴，①又时，，是减函数，函
数是上的减函数，，②又①②得．故选：．（3）已知函数．若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【解答】解：若函数在上单调递增，则，解
得，．例5.（1）若函数是定义在，上的减函数，且，则实数的取值范围是A．B．，C．，D．【解答】解：根据题意，函数是定义在，上的
减函数，若，则有，解可得：，即的取值范围为，；故选：．（2）已知函数，若（a），则实数的取值范围是A．，，B．C．，，D．【解答
】解：函数在上是增函数（a），，实数的取值范围是故选：．模块二：复合函数单调性对于复合函数的单调性，必须考虑函数与函数的单调性，函
数的单调性如下表：增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数小结：同增异减．考点4：复合函数单调性判
断例6.函数的单调递减区间为A．B．C．，D．，【解答】解：由题意，，可得或，函数的定义域为，，，令，则在，上单调递增，，在，上
单调递减，在，上单调递增，函数的单调递减区间为，，故选：．（2）函数的单调递减区间为A．，B．，C．，D．【解答】解：由题意可得
函数的定义域为，，结合二次函数的性质可知，函数在，单调递减，在，单调递增故选：．（3）函数的值域是，单调递增区间是．【解答】解
：根据题意，函数，设，必有，解可得，必有，则，则有，即函数的值域为，；又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间
为，；故答案为：，；，．课后作业：1.已知函数，且此函数图象过点．（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性？并证明你的结论．
【解答】解：（1）根据题意，函数，函数图象过点，则有，解可得，（2）根据题意，由（1）的结论，，函数在上为减函数；证明：设，则，又
由，则，，则，故函数在上为减函数．2.设是定义在上的增函数，对定义域内的任意，都满足，（1）求（1）；（2）若（2），解不等式．
【解答】（1）令，则（1）（1）（1）；（2）（2）（2）（4），；即（4）；在上是单调递增的；，不等式的解集为．3.函数在区间
，上是单调函数，则实数的取值范围是A．，，B．，，C．，D．，【解答】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，若在区间，上是单
调函数，则有或，解可得：或，即的取值范围为，，；故选：．4.已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是．【解答】解：根据题意，函数是上的减函数，必有且且，解可得，即的取值范围为，．故答案为：，．5.已知是定义在上的减函数，且，则的范围是．【解答】解：根据题意，是定义在上的减函数，且，则有，解可得：，即的取值范围为，；故答案为：，． |
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