关于乒乓球螺旋球的新概念及新技术--兼论乒乓球运动的数学和力学基础徐庆和(北京大学数学科学学院数学系数学与应用数学实验室,北京10
0871)摘要：研究目的：建立关于乒乓球螺旋球（helicalballs）、挠旋球（torsionspinballs）的新
概念、新技术、及新系统。研究方法：应用现代数学理论（微分不变量）和电脑程序来研究乒乓球的旋转。研究结果：（1）给出了乒乓球螺旋球、
挠旋球的新概念和科学定义。（2）给出了乒乓球螺旋球系统的新的旋转分类法。（3）阐明了乒乓球运动在3维空间的数学和力学原理及运动的基
本规律。（4）建立了乒乓球螺旋球、挠旋球的理论系统和技术系统。关键词：乒乓球运动；旋转；螺旋球；弧圈；曲率；微分不变量；运动学
NewConceptandTechniqueofHelicalBallsinTableTennis-
---DiscussiononMathematicalandMechanicalFoundationofTable
TennisXuqinghe(SchoolofMathematicalScience,PekingUnivers
ity,Beijing100871,China.)Abstract:Inordertosetupnewconc
eptandtechniqueofthehelicalballsandtorsionspinballsin
tabletennis,thispaperstudiesthespinsoftabletennisbymea
nsofmodernmathematicaltheoryandcomputerprogram.Theresult
showsthat(1)givingthescientificdefinitionandconceptofh
elicalballs.(2)givingthescientificclassificationsystemof
helicalballs.(3)givingthescientificregulationoftabletenn
isinthreedimensionalspace.(4)establishingthetheoreticala
ndtechnicalsystemofhelicalballandtorsionspinballs.Keyw
ords:tabletennis;spin;helicalball；kinematicalanalysis１螺旋、
螺旋球和挠旋、挠旋球的定义：1.1乒乓球螺旋和挠旋的定义：在连续（变化）的合力作用下（这个合力，在不同的时间具有不同的方向，并
且可以是不在一个平面上），在使乒乓球前进时，又使乒乓球产生一种旋转，球运行的轨迹，呈螺旋线形（即螺旋线的一部分）(图1,图2)，
这种旋转，称为螺旋。图13维空间螺旋面,它是由图23维空间圆柱螺旋3维空间螺旋线组成如果在上述条件下，乒乓球运行的轨
迹，呈挠旋线形（即挠旋线的一部分），这种旋转，称挠旋。1.2螺旋球和挠旋球的定义：具有强列螺旋的球，称为螺旋球。具有强烈挠旋的
球，称挠旋球。2螺旋球和挠旋球与“弧圈球”的区别和联系：关于弧圈和弧圈球，目前乒乓球专业书上的叙述有几个要点：(１)首先给出弧
的概念，它是圆的一部分，或者是一条平面曲线（圈则是指圆圈的圈）。(２)它是一种上旋球，即旋转的方向是向上的。(３)合力的方向，
是向上向前的。关于所谓弧圈的“弯度”，一般都是用直观描述法，来叙述一下，没有给出具有科学原理的定义，没有应用数学曲率的科学概念，更
没有应用挠率的科学概念。关于弧圈的命名，在乒乓球专业书《乒乓球的旋转》中，是这样给出的：“由于弧圈球飞行时犹如半个圆圈，弧圈球便由
此得名”。上述“弧圈”这个概念，无论是从现代数学、现代力学的理论观点，还是从乒乓球的实践观点来分析，都存在严重的片面性、局限性等
缺陷。用一句话来概括，现在所谓的“弧圈”这个概念，缺乏科学的依据、科学的分析、和科学理论的支持，特别是缺乏现代数学科学和力学理论的
支持。由于乒乓运动的开展，最基本的一条，就是需要有一个现实的空间，在数学上来刻画它，就需要建立一个3维空间，而我们从现行书上的描述
（上述的3个要点），从大多数情况来看，它的主要格局，包括所有的示意图（参看２０００年６月最新出版的体育辞典上所有有关图示及其概念）
其几乎都是用2维平面上的圆弧,至多也是用2维平面上的曲线来刻画的，这样的刻画和描述不仅仅是粗糙的、片面的，而且是违背实际的，它不
利于乒乓球运动的理论研究，不利于推动乒乓球运动的进一步发展。螺旋球、挠旋球与“弧圈球”的区别：主要有4条：(１)旋转概念不一样
；由上旋的定义，上旋球的旋转方向是向上，而由螺旋的定义，螺旋球旋转方向是呈螺旋线形的；图33维空间圆锥螺旋线(２）作用的空间不一
样，上旋球是用二维平面中圆圈或曲线来刻画的，而螺旋球是用三维空间中螺旋线形来刻画的；(３)螺旋球是用3维空间中科学而精确的曲率和
挠率来刻画的，而在目前的乒乓球专业书中，关于上旋球的一切探讨，是从来不考虑挠率这个极重要的科学参数；(４)原有的提法，缺乏科学内
涵和理论支撑，从而制约了乒乓球技术的深入和理性的发展，螺旋球的科学概念和理论系统，有利于用电脑和现代技术研究和发展乒乓球运动(图4
)。图43维空间圆锥螺旋线及在3个平面的投影螺旋线这里应指出的是：弧圈球是一种上旋球，而所谓的上旋球，可以看成是螺旋球的特例
。因此，螺旋球，挠旋球是“弧圈球”技术的新发展和更新换代，它是定义在螺旋和挠旋等现代科学概念的基础上。3空间曲线和螺旋线的数学
定义、力学意义及其基本规律：3.1空间曲线的方程的几种表示：3.1.1参数式；3.1.2交面式；3.1.3矢量式；3.1.
4空间曲线的自然方程。3.2曲率和挠率的定义：曲率：度量曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为0。
圆周的曲率等于其半径的倒数。挠率：度量曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不
是落在－平面上，则称为挠曲线。曲率和挠率是两个微分不变量，它们决定了曲线的形状特征，是刻画空间曲线在某点邻域弯曲程度和离开密切平
面而扭曲程度的量。3.3空间曲线的基本定理和自然方程：给出闭曲线上的两个连续函数κ（ｓ）和τ（ｓ），其中κ（ｓ）＞０，则除了空
间的位置差别以外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数ｓ是曲线的弧长，并且κ（ｓ）和τ（ｓ）分别为曲线的曲率和挠率。把κ＝κ（ｓ），
τ＝τ（ｓ）称为空间曲线的自然方程。这是空间曲线的基本定理,它的重要性在于它指明了空间曲线除了它在空间的位置外，由它的自然方程唯一
的确定。它从理论上进一步指明：不但曲线的形状决定了它的曲率和挠率，而且曲率和挠率还决定了曲线的形状。3.4特殊曲线一般性的理论研
究：如果曲线的曲率和挠率满足线性关系：Ａκ＋Ｂτ＋Ｃ＝０，其中Ａ、Ｂ、Ｃ为常数，则曲线可分为下面几种情况：１)Ｃ＝０，一般螺
旋线。特殊情况：Ａ≠０，Ｂ＝０（κ＝０）时：直线；Ａ＝０，Ｂ≠０（τ＝０）时：平面曲线（挠率恒为零的曲线为平面曲线）。２)Ｃ
≠０，Ａ＝０，Ｂ≠０：挠率固定的曲线。３)Ｃ≠０，Ａ≠０：贝特朗曲线。我们用它们可以精确地给出任意一条空间曲线，并可以由相关
的公式，计算出曲率和挠率，及空间曲线的长度。它们是研究乒乓球在空间运行曲线的数学工具和主要的计算方法。在空间曲线中最具代表性的曲
线，就是螺旋线和挠旋线，它是从现实生活、社会实践和科学试验中，对物质运动的轨迹进行抽象，而得到的具有确定方程、可计算的空间曲线。因
此，应用它，我们可以比较科学地研究乒乓球在空间运行的曲线。3.5螺旋线的数学定义：若曲线Ｃ为挠曲线，若其曲率和挠率具有固定比值
，称为螺旋线。它的特征是切线与－固定方向作成定角。如果曲率和挠率均为非零常数,那么Ｃ是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角。
3.6螺旋线的力学意义：从力学意义上来说，我们可以把乒乓球在空间的运动，视为刚体一般运动（generalmotionof
arigidbody），即对运动学条件没有任何限制的刚体的自由运动。乒乓球在作自由运动时，球体内没有任何固定于空间的点，而且任
何3个不共线的点的轨迹不会相同。刚体作一般运动时有6个自由度。3.7乒乓球在空间运动的基本规律：1）乒乓球在空间作一般运动时
的任何位移都可分解为随基点的平动位移和绕基点上某轴的转动位移，改变基点的选择，只影响平动位移而不改变转动位移的转角。2）乒乓球在
空间作一般运动时的任何位移都可化成螺旋位移,由绕某轴的转动和沿该轴的平动位移合成。这个轴称为螺旋轴。3)乒乓球在空间作挠旋运动
时的任何位移都可分解为随基点的平动位移和绕基点上某轴的转动位移，改变基点的选择，不仅影响平动位移而且可以改变转动位移的转角。挠旋运
动是指：曲率和挠率的比不等于常数。4)乒乓球在空间作挠旋运动时的任何位移都可化挠旋位移,由绕某轴的可变角转动和沿该轴的平动位移
合成。这个轴称挠旋轴。也就是说上述乒乓球在空间的一般运动，可归结为在每瞬时沿着和绕着瞬时螺旋轴的螺旋运动。随着时间的推移，瞬时螺
旋轴在固定空间描出一个线生曲面，同时它在刚体内部也描出一个线生曲面。这两个曲面相切于该瞬时的螺旋轴。因此，乒乓球的一般运动可视为绕
螺旋轴的翻滚和沿该轴的滑动这2种运动的合成。4螺旋线和挠旋线的区别及螺旋和螺旋球的分类：4.1螺旋线和挠旋线的区别：从数学的角
度来分析，主要用具有运动学意义的微分不变量--曲率和挠率，来刻画空间的曲线：如果一条空间曲线，不是落在一个平面上，我们称它为挠旋线
，这时它的挠率不等于０；若一条挠旋线，其曲率和挠率具有固定比值，称为螺旋线。4.2螺旋线的数学分类：1）圆柱螺旋线；2）圆锥螺
旋线（这种曲线投影到Ｏｘｙ平面上，刚好是对数螺线）；3）一般螺旋线，它的特殊情形，是圆柱螺旋线。4.3螺旋和螺旋球的科学分类：
总体上分3种情况：4.3.1关于接球的螺旋和螺旋球的分类;4.3.2关于发螺旋球及其分类;4.3.3台内螺旋球的分类.下
面分别进行实际和具体的研究及其科学分析:4.3.1关于接球的螺旋和螺旋球的分类：共有4种分类法：(1)按身体发力部位分类：1)
手腕螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是手腕关节和手指关节的合力，发力地点是台内近网处；2)肘螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是肘关
节和手腕关节和手指关节的合力，发力地点是台内；3)大臂螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是主要发力部位是脚掌、腿、腰、大臂、肘关节和
手腕关节和手指关节的合力；发力地点是台外，针对半出台、和出台球。(2)按运行曲线分类:1)高吊螺旋球（挠旋球）；2)前冲螺旋
球（挠旋球）；3)右冲螺旋球（挠旋球）；4)左冲螺旋球（挠旋球）。(3)按击球地点分类：1)近网螺旋球（挠旋球）；2)台
中螺旋球（挠旋球）；3)台外螺旋球（挠旋球）。(4)按数学定义分类：由螺旋线的数学分类，我们相应地把螺旋球分为：1)圆柱螺
旋球；2)圆锥螺旋球；3)一般螺旋球。统称为螺旋球（图5）。图5圆柱螺旋线在3维空间的轨迹4.3.2关于发螺旋球及其分类：
乒乓球的发球，和其它任何球类的发球不一样，有其独特而鲜明的特色：即发球时，球首先是击打在自己这一方，然后再弹跳到对方，而不像羽毛球
、排球等，可以直接击打到对方。因此，对发球的力量就受到限制（而接球的力量就没有这个限制，只要准确上台即可）。因此，乒乓球发球的旋转
，就显得更加重要。螺旋和螺旋球、挠旋球理论系统和新技术系统的建立，为乒乓球发球技术发展打下了理论基础。发螺旋的分类如下：(１)正
手螺旋发球；(２)反手螺旋发球；(３)下蹲螺旋发球；(４)高抛螺旋发球；(５)滚动螺旋发球。4.3.3台内螺旋球的分类：
主要有3种情况：(1)快带螺旋；(2)兜底螺旋；(3)直扭螺旋。（注：由于空间的曲线，是由曲线的曲率和挠率及相应的方程来确定
的，它可以是2次曲面上的曲线，例如：圆柱球面、椭球面、双曲面、抛物面、马鞍面等各种2次曲面上的曲线，因此，在实践中，特别是为了便于
深入地、全面地、精确地进行乒乓球运动轨迹的科学研究和理论研究，我们分别把具有这些轨迹的旋转和击球，称为：１）球面旋转球;２)椭
球旋转球;３)双曲旋转球;４)抛物旋转球;５)马鞍旋转球等。并统称为螺旋和挠旋球。）5螺旋和螺旋球的应用：从总体上说，根据
科学的现代数学原理、现代力学理论和数学弹性力学的基本规律（如变形连续规律、应力-应变关系的规律、运动或平衡的规律及球体和球壳的理论
），乒乓球在空中运行时，绝大多数情况，都是在某种旋转（包括平行运动，或旋转的组合）的情况下进行的，因此我们在了解到或掌握螺旋和螺旋
球的概念、定义和理性知识之后，就可以在各个环节，如发球、接球、拉球、攻球、搓球及各种击球的环节，预先设定乒乓球的螺旋方式及旋转方式
，预先在电脑上通过程序来显示,并达到预期目的。以下对螺旋和螺旋球的应用,进行实际动作理论和技术分析:5.1发螺旋球：在发球时
，手挥动球拍击球时的轨迹，包含触球点及在球拍上延续的轨迹，呈螺旋状态，即螺旋线的一部分（可以是圆柱螺旋线的一部分、圆锥螺线的一部分
、一般螺旋线的一部分等），统称为发螺旋球（和上旋球、下旋球的区别：现行专业书上叙述，在发上旋球、下旋球时，手挥动球拍击球时的轨迹，
包含触球点，是方向向上、方向向下的）。再细分，可以发方向偏上的上螺旋球（图6）和发方向偏下的下螺旋球。也可以发高抛螺旋球、正手或反
手螺旋球。这里应说明的是：现在书上所谓的上旋球、下旋球，可以看成是上螺旋球和下螺旋球的特例。当然我们还可以发各种挠旋球。图6发上
圆柱螺旋球,球拍在三维空间挥动路线发螺旋球技术的6结合9组合:6结合：螺旋曲线和落点结合；螺旋曲线和速度结合；螺旋曲线和力量
结合；速度和落点结合；速度和力量结合；落点和力量结合。9组合：长短球组合；左右（大角、长）球组合；远近球组合；转和不转球组合；正手
发球和反手发球组合；右螺旋和左螺旋组合；上螺旋和下螺旋组合；圆柱螺旋和圆锥螺旋组合；高抛螺旋和低抛螺旋组合。5.2拉螺旋球,分
2种情况：5.2.1出台球:适于拉左冲、右冲、前冲等各种螺旋球，在引拍时，应用脚掌、腿、腰、大臂、前臂的力量形成合力，球拍挥动
路线呈螺旋线形，触球的时间，是在球的上升期或最高点，并且触球点在球的偏上或顶点的位置，在球拍触球的瞬间，加上手碗和食指的甩动合力（
直拍用手碗和中指），适当加长球和球拍磨擦的时间，减少碰撞的时间，并仍使球在球拍上的运动轨迹呈螺旋线形。左冲螺旋球和右冲螺旋球的飞行
轨迹呈螺旋线形，在球接触对方球台时，以螺旋线形状向左、右等各种可以预测的各个方向飞出。由于拉左冲、右冲、前冲等各种螺旋球的运行轨迹
，不在一个平面上，不仅具有一定的曲率，还具有一定的挠率，而且变化种类多样，常使对方难于判断和措手不及。5.2.2半出台球（包括
左半出台球、右半出台球、正手半出台球、反手半出台球）:适于拉高吊螺旋球：其要领和拉左冲、右冲、前冲螺旋球相似，球拍挥动路线呈螺旋
线形，在球拍触球的瞬间，仍使球在球拍上的运动轨迹呈螺旋线形，但触球的时间，是在球的下降时期，并且触球点在球的中和中偏上的位置(中偏
右下,为兜底高吊螺旋球)。这里应注意的是：由于高吊螺旋球(图7)可以在左半出台、右半出台、正手半出台、反手半出台等各种情况下应用
，因此，球拍的初始角度、综合应用合力的大小、螺旋线的大小和方向、曲率和挠率的大小的掌握，在实际操作时有一定的分寸及自由度，不宜过份
僵硬，但上述要领，必须掌握住。图7高吊螺旋球在3维空间的飞行轨迹5.3台内螺旋球：5.3.1台内螺旋球，和出台、半出台螺
旋球的主要区别是：(1)击球的动作比较小；(2)基本动作在台内完成；(3)主要是由大臂、上臂、手碗、和手指，特别是手碗和手
指的发力起了重要的作用。5.3.2台内螺旋球主要有3种情况：(1)快带螺旋：在台内球的上升后期，球拍迎着球，先碰撞后磨擦，球拍
向上甩动的弧线是螺旋线形；(2)兜底螺旋：球拍由球的底部触球，由下向上翻转，先碰撞后磨擦，球拍翻转甩动及球在球拍上磨擦的曲线是螺
旋线形；(3)直扭螺旋：球拍接近垂直略向后仰，球拍迎着球，球拍向右前上（或左前上）发力扭动，扭动的弧线是螺旋线形。在上述相同的
情况，我们还可以拉出或发出各种挠旋球。6创建螺旋和螺旋球概念的理论意义和现实意义：通过曲面上每一点沿着每一方向有唯一的一条测地
线，而曲面Ｓ上一条由曲线ｃ在平面上伸展为直线的充要条件是：曲线ｃ是曲面上的测地线，也就是说在某种意义下，联结曲面上两点的一切曲线中
，测地线最短（也称其为短程线）。因此，在乒乓球的实际运用中经常强调的有3个要素：一个是速度，一个是旋转，一个是落点,那么怎样使3者
组成最佳结合呢？现代数学理论告诉我们：使乒乓球在空间的运行路线，形成一条测地线，这是一个最佳的选择。而我们上述定义的螺旋球，它的运
行轨迹，呈螺旋线型，如同圆柱面、圆锥面上的螺旋线，它恰好正是一条测地线。这是可定向、可展曲面所具有的很好的内蕴性质（如果在只需强调
速度的时侯，则使乒乓球在空间的运行路线，形成一条直线或球大圆，这两者也都是测地线。由于路程最短，在其它条件不变的情况下，耗时最少，
速度最快）。上面的论述，具有实际经验的好手，也许能够体验到，但这绝不是偶然的巧合，这正体现了现代数学理论对乒乓球实践的指导意义，从
而使乒乒球的实践建立在坚实的科学理论的基础上。有了螺旋和螺旋球及挠旋和挠旋球的科学概念和定义，有利于实现打知识球、打文化球、打科
技球的理念.我们就可以用现代数学的眼光，用3维空间（和高维空间）的視角，用变量、变化的观点，用微分不变量--曲率和挠率这科学的尺度
，用空间的几何曲线，用电脑高科技,来分析乒乓球运动轨迹和旋转，那么对于乒乓球的相关研究，便可以纳入现代数学和现代力学的范畴，并可
由此为核心内容和基本框架，建立一门《乒乒球的数学和力学原理》，对乒乓球的运动和旋转的规律，进行系统、科学、全面的研究（而不是仅仅是
进行一些直观并且粗糙的描述），使乒乓球的研究，真正升华到理论的高度，成为一门有现代数学、现代力学和计算机智能专家系统作为基石的一门
科学技术，从而推动乒乓球运动向科学和纵深的方向发展。参考文献[1]韩志忠周建军编著.乒乓球理论与实践方法探索[M]云南出版
社,1995:44.[2]徐寅生主编.乒乓世界[J].1998-2002.[3]徐庆和主编.文科高等数学学习指导(2册)[M]北京:清华大学出版社,2001:78.[4]Xuqinghe.Asurveyofquasiconformalmappingsandnewadvances[J].JournalofJiangxiNormalUniversity,2000(24)1:34-39.[5]Xuqinghe.Anoutlineofcollectedpapersoncomplexanalysis[J].ChinaInformationReview.19946:36.[6]XuqingheSomeresultsofacollectedpapersoncomplexanalysis[J].ChinaInformationReview.199410:36.Tel:88372060Email:qinghe31@sina.comWebsite:www.emath.cn发表在<<体育科学>>2003第23卷第5期(总第117期)p115-119 |
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