高中必考函数大全
指数函数
概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质:
规律:1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R上是减函数。
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。x,y=logx的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
图
象 a>1 a<1
性
质 (1)x>0 (2)当x=1时,y=0 (3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0 (3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 补充
性质 设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<10<b<1)
当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2 比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞)
函
数
值
变
化
情
况 当a>1时,
当0<a<1时,
当a>1时
当0<a<1时,
单调性 当a>1时,ax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数. 当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,logax是减函数. 图像 y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握,当的图像和性质,列表如下.
从中可以归纳出以下结论:
它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.
时,幂函数图像过原点且在上是增函数.
时,幂函数图像不过原点且在上是减函数.
任何两个幂函数最多有三个公共点.
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
定义域 R R R 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减
幂函数(R,是常数)的图像在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数(R,是常数)的图像都过点;
②当时函数的图像都过原点;
③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);
④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)
⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)
⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)
当时,幂函数;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。
当时,幂函数;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过点后,越大,图象下落的速度越快。
无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,(当且仅当即时取等号),由此可得函数(a>0,b>0,x∈R+)的性质:
当时,函数(a>0,b>0,x∈R+)有最小值,特别地,当a=b=1时函数有最小值2。函数(a>0,b>0)在区间(0,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数。
因为函数(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数(a>0,b>0,x∈R-)的性质:
当时,函数(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-,特别地,当a=b=1时函数有最大值-2。函数(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上是增函数,在区间(-,0)上是减函
奇函数和偶函数
(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明:(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时,才有可能是奇(2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便:f(x)(3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数.(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性.解设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0则有-x1>-x2>0,∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)>f(-x2)又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,∴=-f(x1)>-f(x2)∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同.类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.时,f(x)的解析式解∵x<0,∴-x>0.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真.由此可拓广如下:
如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在
(a+b-x,f(x)),而f(a+b-x)=f[a+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x),对称点P''(a+b-x,
称;
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
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