康巴什区第一次模拟考试卷
一．选择题（共5小题）
1．
2.
已知三角形的三边长分别是4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是
4.下列运算正确的是（）
A．m6÷m2＝m3 B．（x+1）2＝x2+1
C．（3m2）3＝9m6 D．2a3?a4＝2a7
5.如图，m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，边AC交直线m于D，∠1＝25°，则∠2的度数是
A.25°B.35°C.45°D.55°
6.甲、乙两地今年4月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
7.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）
A．100° B．105° C．110° D．115°
下列说法正确的是
A.B.正四边形的边长等于半径的2倍
C.八边形的内角和是1060°D.方程无解
9.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
10．如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD＝2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动x秒时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）
A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
11．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为．
12．计算：
13.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．
14．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为．
15.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．
16.如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为．
三．解答题（共8小题）
17.（本题满分8分）
（1）解不等式组，并求出该不等式组的最大整数解.
（2）先化简，再求值：
18.（本题满分8分）
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共人，a＝，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
19.（本题满分8分）
如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
20.（本题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
（本题满分8分）
如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．
（本题满分9分）
为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
（本题满分10分）
如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．
观察猜想
（1）①OE与CE的数量关系是；
②∠OEC与∠OAB的数量关系是；
类比探究
（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．
（本题满分12分）
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．
16．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO＝，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为，求k的值；
（3）若过点C的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c＝0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
2021年04月29日刘超的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）
A． B． C． D．
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣＝；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
2．如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD＝2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动x秒时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况．
【解答】解：∵D（5，4），AD＝2．
∴OC＝5，CD＝4，OA＝＝5，
∴运动x秒（x＜5）时，OE＝OF＝x，
作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点G，
∴EH∥AG，
∴△EHO∽△AGO，
，
即：，
∴EH＝x，
∴S△EOF＝OF?EH＝×x×x＝x2，
故A、B选项错误；
当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EOF的面积不变，
点在DC上运动时，如右图，
EF＝11﹣x，OC＝5，
∴S△EOF＝OC?CE＝×（11﹣x）×5＝﹣x+是一次函数，故C正确，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．
3．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
4．甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．
【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．
5．下列运算正确的是（）
A．m6÷m2＝m3 B．（x+1）2＝x2+1
C．（3m2）3＝9m6 D．2a3?a4＝2a7
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝m4，不符合题意；
B、原式＝x2+2x+1，不符合题意；
C、原式＝27m6，不符合题意；
D、原式＝2a7，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为．
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣×＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：法一：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
法二：证明点O是△ABC的外心，推出∠BOC＝108°，根据OB＝OC，推出∠OCE＝36°可得结论．
故答案为：108．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
8．如图，m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，边AC交直线m于D，∠1＝25°，则∠2的度数为35°．
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过C作直线l∥m，
∵m∥n，
∴l∥m∥n，
∴∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠3+∠4＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∠2＝35°，
故答案为：35°
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．
三．解答题（共8小题）
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．
【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
【解答】解：
（1）∵OB＝OC＝6，
∴B（6，0），C（0，﹣6），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，
∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，
∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG＝|x2﹣2x﹣6|，
在y＝x2﹣2x﹣6中，令y＝0可得x2﹣2x﹣6＝0，解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，则AG＝x+2，
∵B（6，0），D（2，﹣8），
∴BE＝6﹣2＝4，DE＝8，
当∠FAB＝∠EDB时，且∠FGA＝∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴＝，即＝，＝＝，
当点F在x轴上方时，则有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴下方时，则有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此进F点坐标为（5，﹣）；
综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ＝MN，
∴MT＝2PT，
设PT＝n，则MT＝2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n＝（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n＝或n＝（舍去），
∴MN＝2MT＝4n＝+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（2+2n，﹣n），
∴﹣n＝（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n＝或n＝（舍去），
∴MN＝2MT＝4n＝﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得△FAG∽△BDE，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在（3）中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
10．如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．
观察猜想
（1）①OE与CE的数量关系是OE＝EC；
②∠OEC与∠OAB的数量关系是∠OEC＝2∠OAB；
类比探究
（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．
【分析】（1）①利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
②利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明∠OED＝2∠OAE，∠DEC＝2∠EAC，即可推出结论．
（2）结论成立．如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．想办法证明△HDC≌△OBC（SAS）可得结论．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC，根据△OEC是等腰直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵∠AOD＝90°，AE＝DE，
∴OE＝AD，EC＝AD，
∴OE＝EC．
②∵EO＝EA，EC＝EA，
∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，
∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，
故答案为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．
（2）结论成立．
理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．
由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，
∴△AEO≌△DEH（SAS），
∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，
∴∠CDH＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CD，
∴DH＝OB，
∴△HDC≌△OBC（SAS），
∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，
∴∠HCO＝∠DCB＝90°，
∴∠COE＝∠CHE＝45°，
∵OE＝EH，
∴CE⊥OE，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．
（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．
由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，
∵BC＝BD＝1，OB＝3，
∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，
∴OE＝OC＝．
②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，
综上所述，OE的长为或2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
11．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【分析】（1）将x＝600、y＝18000代入y1＝k1x可得k1；将x＝600、y＝18000和x＝1000、y＝26000代入y1＝k2x+b可得k2、b．
（2）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用＝种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；
（3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．
【解答】解：（1）将x＝600、y＝18000代入y1＝k1x，得：18000＝600k1，解得：k1＝30；
将x＝600、y＝18000和x＝1000、y＝26000代入，得：，
解得：；
（2）当0≤x＜600时，
W＝30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W＝﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x＝500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W＝20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x＝600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x＝900时，W取得最小值27900元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．
12．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．
【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；
（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC＝OB?cos30°＝60km，CD＝OC＝30km，OD＝OC?cos30°＝90km，则DE＝（90﹣3v）km．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2＝CE2，即（30）2+（90﹣3v）2＝602，解方程求出v＝20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．
【解答】解：（1）∵∠CBO＝60°，∠COB＝30°，
∴∠BCO＝90°．
在Rt△BCO中，∵OB＝120，
∴BC＝OB＝60（km），
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60＝1（小时）；
（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC＝OB?cos30°＝60（km），CD＝OC＝30（km），OD＝OC?cos30°＝90（km），
∴DE＝（90﹣3v）km．
∵CE＝60km，CD2+DE2＝CE2，
∴（30）2+（90﹣3v）2＝602，
∴v＝20或40，
∴当v＝20km/h时，OE＝3×20＝60（km），
当v＝40km/h时，OE＝3×40＝120（km）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO＝90°是解题的关键，本题难易程度适中．
13．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2CD＝8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝4，
∴AC＝2CD＝8，
在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，
即82+（AB）2＝AB2，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
14．如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S△PAB＝PE?CA+PE?BD＝PEPE＝PE＝18，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝﹣，
将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，
故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；
（2）连接AP、BP，
设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，
则S△PAB＝PE?CA+PE?BD＝PEPE＝PE＝18，解得：PE＝4，
故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
15．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共300人，a＝10，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
（2）用2000乘以A类的百分比即可．
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）120÷40%＝300，
a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，
∴a＝10，
10%×300＝30，
故答案为：300，10；图形如下：
（2）2000×40%＝800（人），
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．
【点评】本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
16．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO＝，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为，求k的值；
（3）若过点C的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c＝0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
【分析】（1）设A（m，n），根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出，解方程组即可求得A的坐标，代入y＝可求得k的值；
（2）作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值；
（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a，即可判定﹣在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x＝a时，有最大值4a，或x＝a+1时有最大值4a，分别代入求得即可．
【解答】解：（1）设A（m，n），
∵AO＝，
∴m2+n2＝5，
∵一次函数y＝2x的图象经过A点，
∴n＝2m，
∴m2+（2m）2＝5，解得m＝±1，
∵A在第一象限，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝1×2＝2；
（2）连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝3，
如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣×（﹣）＝；
（3）∵抛物线经过点C（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
又∵a+b+c＝0，
∴b＝a，c＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a，
∵﹣＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜﹣，
∴当x＝a时，取得最大值4a，
则a?a2+a?a﹣2a＝4a，
解得a＝﹣3或2（不合题意舍去），
当x＝a+1时，取得最大值4a，
则a（a+1）2+a（a+1）﹣2a＝4a，
解得a＝1或﹣4，
综上所述所求a的值为﹣4或1．
【点评】本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
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日期：2021/4/2918:49:58；用户：刘超；邮箱：14747761702；学号：37160268
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