2021年中考模拟题
数学试卷
考试时间120分钟试卷满分150分
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．“比a的大2的数”用代数式表示是（）
A.a＋2B.a＋2C.a+2D.a－2
2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．5，5，6C．8，15，17D．9，12，13
3．计算的结果是（）
A．2 B． C．1 D．
4．已知⊙O1的半径为8cm，⊙O2的半径R为2cm，两圆的圆心距O1O2为6cm，则这两圆的位置关系是（）
A．相交Ｂ．内含Ｃ．内切Ｄ．外切
5．甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍．如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可以列方程组（）．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
6．如图△AOB中，∠AOB＝120°，BD，AC是两条高，连接CD，若AB＝4，则DC的长为（）
A．B．2C．D．
7．若3ａ＋2ｂ＝2，则直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ一定经过点（）
A．（0，2）B．（3，2）C．（－，2）D．（，1）
8．若函数y＝的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是
A．c＜1B．c＝1C．c＞1D．c≤1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若和互为相反数，则＝___________。
10．以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为_________.
11．一项工程，甲独做需12小时完成，若甲、乙合做需4小时完成，则乙独做需小时完成。
12．三角形的两边长为2cm和2cm，则这个三角形面积的最大值为_____________cm2.
13．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F．若AB＝8，AE＝3，则DF＝．
14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，∠BAD＝∠C，
AD∶AC＝3∶5，△ABC的面积为25，则△ACD的面积为．
15．如图，直线ｙ＝－ｘ＋2与ｘ轴相交于点A，与ｙ轴相交于点B，将△ABO沿着AB翻折，得到△ABC，
则点C的坐标为．
16．如图，AB是半圆⊙O的直径，半径OC⊥AB，⊙O的直径是OC，AD切⊙O于D，交OC的延长线于E．设⊙O的半径为r，那么用含r的代数式表示DE，结果是DE＝
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
18．解不等式组
并把不等式的解集在数轴上表示出来
19．如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（１）用，，表示纸片剩余部分的面积；
（２）当ａ＝8，ｂ＝6，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的一半时，求正方形的边长．
20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）。
四、（每小题10分，共20分）
21．甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．
甲超市：
球 两红 一红一白 两白 礼金券（元） 5 10 5 乙超市：
球 两红 一红一白 两白 礼金券（元） 10 5 10
（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
22．汶川大地震发生后，某中学八年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动.活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图.
（1）求这40名同学捐款的平均数；
（２）这组数据的众数是，中位数是．
（３）该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？
五、（本题12分）
23．如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD
（１）求证：PA＋PC＝PB＋PD
证明：作PE⊥AD于点E（２）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．
（３）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不必说明理由）
六、（本题12分）
24．如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线ｙ＝经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE＝
（１）求双曲线的解析式；
（２）求点F的坐标；
（３）连接EF、DC，直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）
七、（本题12分）
25．四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．设∠EAD＝∠1，∠EAB＝∠2，∠ABE＝∠3，∠CBE＝∠4，给出下列五个关系式，①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．
（１）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果ｘｘｘ，那么ｘｘｘ），并给出证明；
（２）用序号写出三个真命题（不需要证明）
（３）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由．
八（本题14分）
26．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（１）求点B的坐标．
（２）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式．
（３）直线ｙ＝ｘ与（２）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（４）在（３）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在。求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
参考答一、选择题（每小题3分，共24分）
1．A；2．Ｃ；3．Ｃ；4．Ｃ；5．Ｃ；6．Ｂ；7．；8．Ｃ
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．2；10．20；11．6；12．2；13．3；14．16；
15．（，3）；16．．
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．解：原式=（2a＋3）(a－1)－
＝（2a＋3）(a－1)－2a2
＝a－3当a＝2－时，原式的值为－－118．解：由3（ｘ－2）＋4＜5ｘ得：
3ｘ－5ｘ＜6－4
－2ｘ＜2
ｘ＞－1
由得：
1－ｘ＋4ｘ≥8ｘ－4
－5ｘ≥－5
ｘ≤1
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分．
19．解：（１）剩余部分的面积为ａｂ－4ｘ
（２）由题意得：4ｘ＝（ａｂ－4ｘ）
∴6ｘ＝ａｂ当ａ＝8，ｂ＝6时，ｘ＝4
ｘ＝±2ｘ＝－2不合题意，舍去∴ｘ＝2
∴正方形的边长为2．
20．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6
在Rt△ACH中，
∵DH＝1.5，∴ 在Rt△CDE中，
（米）
答：拉线CE的长为（）米
四．（每小题10分，共20分）
21．
（1）树状图为：
4分
（2）
∵去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲）， 7分
去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙）， 9分
∴我选择去甲超市购物． 10分
22．解：（１）
这40名同学捐款的平均数是57.75元；
（2）40元，15元；
（３）57.75×1200＝69300（元）
答：估计这个中学的捐款总数大约是69300元
五、（本题12分）
23．＝PB＋AB
PD＝PC＋CD
∴PA＋PC＝PB＋AB＋PC
PB＋PD＝PB＋PC＋CD＝PB＋PC＋AB
∴PA＋PC＝PB＋PD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．
（２）成立
过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F
则四边形ABFE和CDEF为矩形
∴AE＝BF，DE＝CF
由勾股定理得：
则AP＝AE＋PE，PC＝PF＋CF
BP＝BF＋PF，PD＝DE＋PE
∴PA＋PC＝AE＋PE＋PF＋CF
PB＋PD＝BF＋PF＋DE＋PE
∴PA＋PC＝PB＋PD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．
（３）成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．
六、（本题12分）
24．解：（１）∵双曲线ｙ＝经过点A（2，1）
∴1＝
∴ｋ＝2
∴双曲线的解析式为ｙ＝
（２）设直线OB的解析式为ｙ＝ａｘ
∵直线ｙ＝ａｘ经过点A（2，1）
∴ａ＝
∴直线的解析式为ｙ＝ｘ
∵CE＝，代入双曲线解析式得到点Ｅ的坐标为（3，）
∴点B的横坐标为3
代入直线解析式，得到点B的坐标为（3，）
∴点F的纵坐标为
代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（，）
（３）一定．
七、
25．解：
（１）如果①②③，那么④⑤
证明：延长AE交BC的延长线于点F（如图）
∵AD∥BC
∴∠1＝∠F，∠ADE＝∠FCE
又CE＝DE
∴△ADE≌△FCE
AE＝FE，AD＝CF
∠1＝∠2＝∠F
BA＝BF
BA＝BC＋CF＝BC＋AD
AE＝EF
∴∠3＝∠4
（２）如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤
（３）如果②③④，那么①⑤
如图，ABE和BCE和AED是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，
CE＝DE，∠DAE＝∠BAE＝∠CBE＝∠ABE＝60°，但AD与BC不平行．
八、（本题14分）
26．（１）解：过点B作BE⊥ｘ轴于点E
∵△OAB是等边三角形
∴OE＝2，BE＝2
∴点B的坐标为（2，2）
（２）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点
设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－2）＋2
当ｘ＝0时，ｙ＝0
∴0＝ａ（0－2）＋2
∴ａ＝－
∴抛物线的解析式为ｙ＝－（ｘ－2）＋2
即：ｙ＝－ｘ＋2ｘ
（３）设点C的横坐标为ｘ，则纵坐标为ｘ
即点C的坐标为（ｘ，ｘ）代入抛物线的解析式得：ｘ＝－ｘ＋2ｘ
解得：ｘ＝0或ｘ＝3
∵点C在第一象限，∴ｘ＝3，∴点C的坐标为（3，）
（４）存在
设点D的坐标为（ｘ，－ｘ＋2ｘ），△OCD的面积为ｙ
过点D作DF⊥ｘ轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（ｘ，ｘ）
作CM⊥DF于点M
则OF＋DM＝3，DG＝－ｘ＋2ｘ－ｘ＝－ｘ＋ｘ
∴S＝（－ｘ＋ｘ）×3
∴S＝－ｘ＋ｘ＝－（ｘ－）＋
∴△OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）
开始
第1个球红白
第2个球红白白红红白
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