三．静电场的环路定理
1.静电场力的功与电势能
（1）静电场力是保守力——所作功不因路径不同而改变；
（2）静电场力所作的功，等于相应电势能的减少；
图7
2.静电场环路定理：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零，即：
证明：因为静电场力是保守力，a点出发回到a的作功为0。
3.静电场是无旋场，其微分形式即为：
静电场两个基本特性：有源无旋
静电场的旋度
点电荷
可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零。
四．电位
a、ba点电位可记为：
如图8所示q点电荷产生的电位分布：
即
图8
孤立正点电荷周围的场电位为正：离电荷越远，电位越低。
孤立负点电荷周围的场电位为负：离电荷越远，电位越高。
【例4】试计算均匀带电细圆环轴线上任一点P的电位，设已知带电量为q。
图9
解：
1.电场强度与电位的关系
它与电场的关系是：
式中负号说明，电场强度矢量方向由高电位指向低电位，即指向电位减小的方向，而电位梯度方向是电位增大的方向。
2.点电荷系和连续分布电荷的场强和电位公式
（1）点电荷系电场的电场强度
连续带电体电场的电势
（2）区域S中电荷密度为的电荷的电场在场点处的电场强度为：
（3）电荷线分布的情况，电荷密度为的电荷的电场在场点处的电场强度为：
3.具有对称分布的电场
（1）均匀带电球面的电场
在球面外，点P的电场强度为，方向为沿半径方向指向球外（），方向为沿半径方向指向球内（）；
在球面内，点P的电场强度为；
（2）无限长的均匀带电直线的电场
设一无限长均匀带正电的直线，其线电荷密度为，则以电荷所在的位置为z轴，，半径为R处的电场强度的大小为：
（3）无限长均匀带电圆柱面的电场
；
；
（4）静电场力所做的功。
当试验电荷在静电场中移动一段有限的路程时，静电场力对电荷所做的功为：
式中，——试验电荷的始点和终点到电荷的距离。
结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功，仅与试验电荷以及始点和终点的位置有关，而与所经历的路径无关。
总结：静电平衡时导体的性质：
（1）导体内电场强度E为零；
（2）导体是等位体，导体表面为等位面；
（3）电场强度垂直于导体表面；
（4）电荷分布在导体表面，且。
1.6.3镜像法和电轴法
一、镜像法
1．基本原理是：用放置在所求场域之外的假想电荷（即像电荷）等效的替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷）对场分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空间的问题
3．镜像法的原则：用镜像电荷代替感应电荷，并且保证待求区域的电荷分布以及边界条件不变。
4．确定像电荷的原则：
（1）镜像电荷一定是位于所求解的场区之外。
（2）像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。
5．典型的像电荷分布：
（1）点（线）电荷与接地导体平面：；
（2）点电荷与接地导体球面：
（3）点电荷位于不接地导体球面外：
（4）点电荷位于不接地导体球面内。
有效区域为球面内：
有效区域为球面外：
（5）点（线）电荷与介质分界面。
有效区域为介质1：
有效区域为介质2：
（6）线电荷与接地导体圆柱面：
说明：通过镜像法来求解静电场问题时，只能求得所给定空间静电场的电场强度矢量E和电位分布函数(，而不能求这个空间以外其他空间的静电场和电位分布。
6.4电容和部分电容
一、孤立导体的电容
孤立导体是指导体附近无其它带电体或导体。q，电势为，则C＝q/；C只与导体的形状大小、尺寸和环境有关,称为孤立导体的电容，单位是法拉(F)。
同样可以定义电容。若B不接地，也可定义
仅仅与两导体的尺寸，形状和相对位置及环境有关。
二、电容器的计算
1.平行板电容器
2.圆柱形电容器设内外极板分别带电＋q，－q，，电极共轴，中间填充介质，内外半径分别为、，长度为l。
3.球形电容器:中间填充介质，内外半径分别为、
由髙斯定理求得。
,
计算电容的步骤：
(1)设电容器两极上分别带电荷，计算两级间的场强分布从而算出
(2)所设的必然与q成正比，利用电容的定义
【例5】三块平行导体板A、B、C，面积都是200cm2,A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板接地，如图所示。如果使A板带正电，忽略边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少？
图10
解：根据静电平衡时，导体中的场强为零，又由B、C接地：
{
解以上方程组得出：
如图11所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚度为t的金属板，略去边缘效应。（1）求电容C（2）金属板离极板的远近对电容有无影响？（3）设没有金属板时电容器的电容为，两极板间的电势差为10v。当放厚度t=d/4的金属板时，求电容及两极板间的电势差。
图11
图11
解：（1）AC间的电容等于AB间电容与BC间电容的串联，设BC间距离为x
（2）因为与x无关，所以金属板的位置对C无影响
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