巧算均质三角形的转动惯量深圳市扬美实验学校陈光波将一个均质三角形等分为四个与之相似的全等三角形，借助平行轴定理建立一个一元一次方，即可求得
此三角形对过其质心且与其相垂直的轴线的转动惯量（注：以下均简称为对质心的转动惯量）。分别用Ｍ和ｍ表示右图所示的质量分布均匀的正六边
形和正三角形的质量，ａ表示它们的边长，Ｉ和Ｉ，表示过它们各自质心且与它们垂直的轴线的转动惯量。右图中D、E、F分别为△ABC三边的
中点，O为△ABC的质心，也即其三条中线的交点。很容易证明，在△ABC的三条中位线将其所分得的四个与之相似的全等小三角形中，△DE
F的质心与△ABC的质心重合，其它三个小三角形的质心不仅依次处在△ABC的三条中线上，而且到O点的距离等于其所在的中线长度的1/3
（如图中△AFE的质心G在中线AD上，且OG等于AD的1/3）。对△ABD的AB边和△ACD的AC边应用余弦定理，并结合D为BC的
中点等，可得（1）同理可得（2）（3）三式相加，整理可得（4）因上述的四个全等小角形的边长皆等于△ABC对应边长的一半，故
采用换元法，由转动惯量的定义式即刻可就可推知，这四个小角形对各自质心的转动惯量为△ABC对其质心的转动惯量的。分别用m、a、b、c
表示△ABC的质量和三条边AB、BC与AC的长度。由平行轴定理和△ABC对质心O的转动惯量I等于四个全等小三角形对质心O的转动惯量
之总和，可得（5）将（4）式代入（5）式，整理即得（6） |
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