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试题类型:A
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设,,则
(A)(B)(C)(D)
设,其中xy是实数则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知等差数列前,则
(A)(B)(C)(D)
(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A)(B)(C)(D)
(5)已知方程表
(A)(–1,3)(B)(–1,)(C)(0,3)(D)(0,)
(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互
垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是
(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π
(7)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
(A)(B)(C)(D)
(8)若,则
(A)(B)(C)(D),则输出xy的值满足
(A)(B)(C)(D)
以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,a//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为
(A)(B)(C)(D)
(12)已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
(A)11????????(B)9?????(C)7????????(D)5
II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13).向量a=m,1,b=,2,且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.
(14).的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)
(15).设等比数列满足满足aa2+a4=5,则a1a2…an的最大值为。
(16).某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本题满分为12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别别为
(I)求C;
(II)若的面积为,求的周长
(18)(本题满分为12分)
如图,在已A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是.
(I)证明;平面ABEF平面
(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求的分布列;
(II)若要求,确定的最小值;
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
20.(本小题满分12分)
设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围;
(II)设x1,x2是的两个零点,证明:x1+x2<2.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.
(I)证明:直线AB与⊙O相切
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为。在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=cosθ.
(I)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=x+1∣-∣2x-3∣.
(I)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;
(II)求不等式f(x)∣﹥1的解集。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)D(2)B(3)C(4)B(5)A(6)A(7)D(8)C(9)C(10)B(11)A(12)B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)-2(14)10(15)64(16)216000
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(12分)解:(I)由已知及正弦定理得,,
即.故.可得,所以.
(II)由已知,.又,所以.由已知及余弦定理得,.
故,从而.所以的周长为.
(本小题满分为12分)解:(I)由已知可得,,所以平面.
又平面,故平面平面.
(II)过D作,垂足为,由(I)知平面.以G为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.由(I)知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,.
由已知,,所以平面.又平面平面,故,.
由,可得平面,所以为二面角的平面角,.从而可得.所以,,,.
设是平面的法向量,则,即,所以可取.
设是平面的法向量,则,同理可取.
则.故二面角的余弦值为.
(19)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而;;
;;
;;.
所以的分布列为
16 17 18 19 20 21 22 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故的最小值为19.
(Ⅲ)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当时,.
当时,.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为,,故,所以,
故.
又圆A的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:().
(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.则,.
所以.
过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以
.故四边形的面积.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
(21)(本小题满分12分)解:(Ⅰ).
(i)设,则,只有一个零点.
(ii)设,则当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.又,,取满足且,则
,故存在两个零点.
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,,因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.若,则,故当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.综上,的取值范围为.
(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知,,在上单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以.
设,则.所以当时,,而,故当时,.从而,故.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
解:(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE,因为,所以,.在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切.
(Ⅱ)因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线.由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以.
同理可证,.所以.
(23)(本小题满分10分)解:⑴ (均为参数)∴ ①
∴为以为圆心,为半径的圆.方程为∵
∴ 即为的极坐标方程
⑵ 两边同乘得
即 ②:化为普通方程为由题意:和的公共方程所在直线即为
①—②得:,即为∴∴
(24)(本小题满分10分)
解:⑴ 如图所示:
⑵ 当,,解得或
当,,解得或或
当,,解得或或综上,或或
,解集为
频数
40
20
0891011更换的易损零件数
0
1
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