2022高考复习变量间的相关关系、统计案例目录核心考点常考题型跟踪检测>>>>核心考点1．变量间的相关关系、统计案例1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.核心考点1．变量间的相关关系、统计案例相关关系与函数关系异同点共同点：二者都是指两个变量间的关系.不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系.核心考点2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(2)回归方程为＝x＋???回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.?????核心考点2.两个变量的线性相关的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.核心考点2.两个变量的线性相关(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.要点点拨r的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r|的大小表示线性相关性的强弱.核心考点3.独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为易错提示?y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断.课前检测D课前检测2.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()A.l1和l2必定平行B.l1与l2必定重合C.l1和l2一定有公共点(s，t)D.l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C课前检测3.下面是2×2列联表：?y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为________，________.5274课前检测2.6x0134y2.24.34.86.7常考题型题型一相关关系的判断D常考题型题型一相关关系的判断2.已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关C常考题型题型一相关关系的判断D所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为1.常考题型4.变量X与Y相应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1题型一相关关系的判断C对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0方法总结判断相关关系的2种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.常考题型下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.题型二回归分析常考题型下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；常考题型下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.方法总结1.线性回归分析问题的类型及解题方法(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值.方法总结2.模型拟合效果的判断(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好.(2)相关指数R2越大，模型的拟合效果越好.(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.过关训练1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系.(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪运行台数321对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.过关训练1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系.(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)过关训练1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪运行台数321对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，每周的周总利润为1×3000－2×1000＝1000(元).当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，每周的周总利润为2×3000－1×1000＝5000(元).当30＜X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，每周的周总利润为3×3000＝9000(元).所以过去50周的周总利润的平均值为过关训练2.某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.过关训练2.某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.过关训练2.某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).过关训练2.某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)(2019·河北名校联考)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：常考题型分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[29.98,30.02)频数126386182?分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14]?频数92614?题型三独立性检验乙厂：分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[29.98,30.02)频数297185159?分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14]?频数766218?(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；常考题型(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.题型三独立性检验?甲厂乙厂总计优质品???非优质品???总计???6803603201403201801000500500方法总结独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表.(2)计算随机变量K2的观测值k，查下表确定临界值k0：解题策略P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706?P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关”.过关训练(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.第二种生产方式的效率更高.理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间高于80min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间低于79min.因此第二种生产方式的效率更高.过关训练(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：?超过m不超过m第一种生产方式??第二种生产方式??515155过关训练(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？?超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515再见其中＝＝，＝－.
(3)通过求
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量).
1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l的方程为＝x＋，则下列说法正确的是()
A.＞0，＜0B.＞0，＞0
C.＜0，＜0D.＜0，＞0
回归直线的斜率是正数，即＞0；
回归直线在y轴上的截距是负数，即＜0
4.已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋，则＝________.
∵回归直线必过样本点的中心(，)，又＝2，＝4.5，代入回归方程，得＝2.6.
1.两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是()
A.①②③B.②③①C.②①③D.①③②
3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()
A.－1B.0C.D.1
参考数据：
i＝9.32，iyi＝40.17,＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，(ti－)2＝28,＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103.
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2019年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.
(3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数.
(1)求线性回归方程
利用公式，求出回归系数，.
待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数.
(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，
两变量的线性相关性越强.
参考数据：≈0.55，≈0.95.
由已知数据可得＝＝5，＝＝4.
因为(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
＝＝2，＝＝，
所以相关系数r＝＝＝≈0.95.
因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
＝4600(元)
参考数据：≈0.55，≈0.95.
(xi－)2 (xi－)(yi－) (ui－)2 (ui－)(yi－) 15.25 3.63 0.269 2085.5 －230.3 0.787 7.049
表中ui＝，＝i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
由散点图判断，y＝c＋更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与
印刷数量x(单位：千册)的回归方程.
(xi－)2 (xi－)(yi－) (ui－)2 (ui－)(yi－) 15.25 3.63 0.269 2085.5 －230.3 0.787 7.049
表中ui＝，＝i.
由于＝＝≈8.957≈8.96，
附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
∴＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，
y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，
y关于x的回归方程为＝1.22＋.
假设印刷x千册，依题意得10x－x≥78.840，
解得x≥10，
至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元.
甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；
乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%.
由表中数据计算得，
K2＝≈7.353＞6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
由茎叶图知m＝＝80.
附：K2＝，
因为K2＝＝10＞6.635，
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
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