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| 2022高考复习 二项式定理 |
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2022高考复习二项式定理目录核心考点常考题型跟踪检测>>>>核心考点1.二项式定理注意①项数为n＋1.②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.核心考点1.二项式定理核心考点2.二项式系数的性质课前检测1.二项式(x－2)5展开式中x的系数为()A.5B.16C.80D.－80C课前检测D课前检测课前检测7由题意，可知2n＝128，解得n＝7.课前检测7常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N)的展开式中与特定项相关的量C常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N)的展开式中与特定项相关的量±1方法总结常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N)的展开式中与特定项相关的量B法一常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N)的展开式中与特定项相关的量B法二常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N)的展开式中与特定项相关的量方法总结求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.常考题型题型一二项展开式中特定项或系数问题考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N)的展开式中与特定项相关的量[例3](x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60C方法总结求形如(a＋b＋c)n(n∈N)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.过关训练A过关训练－228过关训练常考题型题型二二项式系数的性质及各项系数和A常考题型题型二二项式系数的性质及各项系数和255常考题型题型二二项式系数的性质及各项系数和3方法总结过关训练过关训练过关训练常考题型题型三二项展开式的应用例设a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，则a＝()A.0 B.1C.11 D.12D方法总结利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.过关训练1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1 B.2C.3 D.4C∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.过关训练1再见(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；
而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
由二项式定理知，其展开式中含x的项为T5＝Cx(－2)4，
故其系数为C(－2)4＝80.
2．二项式6的展开式中，常数项是()
A．－B.C．－D.
二项式6的展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，
令12－3r＝0，解得r＝4.常数项为4C＝.
3.二项式10的展开式中，的系数是()
A.B.－C.15D.－15
B
10的二项展开式的通项公式为
Tr＋1＝C10－r·r＝(－1)r22r－10Cx，
令5－＝，得r＝3，所以的系数是(－1)3·2－4·C＝－.
4.若n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n＝________.
5.若(1＋3x)n(其中nN且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.
(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，
展开式中含x6的项为C36x6.
由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
[例1](1)(2018·全国卷)5的展开式中x4的系数为()
A.10B.20C.40D.80
5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，
令10－3r＝4，得r＝2.
故展开式中x4的系数为C·22＝40.
(2)(2019·甘肃检测)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，
若A＋B＝11，则a＝________.
5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r·r＝C(－a)r.
由5－r＝5，得r＝0，由5－r＝2，得r＝2，
所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
第三步，把r代入通项公式，即可求Tr＋1，有时还需先求n，再求r，才能求Tr＋1或其他量.
求形如(a＋b)n(nN)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
[例2](1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是()
A.－4B.－3C.3D.4
(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，
(1＋)4的展开式的通项为C·()n＝Cx，
其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，
于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于
C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
[例2](1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是()
A.－4B.－3C.3D.4
(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x).
于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，
则正实数a＝________.
(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，
由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，
因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
(x2＋x＋y)5Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，r＝2，T3＝C(x2＋x)3y2，
(x2＋x)3Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，6－k＝5，k＝1，
(x2＋x＋y)5，x5y2CC＝30.
1．若n(n)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为()
A．84B．－252C．252D．－84
由题意可得C＝36，n＝9.
9的展开式的通项为Tr＋1＝C·99－r·r·x，
令9－＝0，得r＝6.展开式中的常数项为C×93×6＝84.
2．(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________．
(用数字作答)
二项展开式中，含x5的项是C2x5－x3C24x2＝－228x5，
所以x5的系数是－228.
3.5(x>0)的展开式中的常数项为________．
5(x>0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，
令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝.
例1若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()
A.6B.C.4xD.或4x
令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，
即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，
所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
例2若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
则a1＋a2＋…＋an的值为________.
n的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.
例3若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
①－，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，
所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1)．(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()
A.1B.243C.121D.122
B
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，
①＋，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.
－，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
－3或1
令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
(2＋m)9·m9＝39，m(2＋m)＝3，
m＝－3或m＝1.
3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________________.
C(3x)7和C(3x)8
由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，
即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，
所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
由于51＝52－1，
512018＝(52－1)2018＝C522018－C522017＋…－C521＋1，
又13整除52，所以只需13整除1＋a，
又0≤a＜13，a，所以a＝12.
2.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数为________.
∵1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，
8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
前10项均能被88整除，
余数为1.
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