二项式系数的性质及各项系数和常考题型A常考题型255常考题型3方法总结过关训练过关训练过关训练再见例1若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()
A.6B.C.4xD.或4x
令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，
即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，
所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
例2若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
则a1＋a2＋…＋an的值为________.
n的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.
例3若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
①－，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，
所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1)．(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()
A.1B.243C.121D.122
B
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，
①＋，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.
－，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
－3或1
令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
(2＋m)9·m9＝39，m(2＋m)＝3，
m＝－3或m＝1.
3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________________.
C(3x)7和C(3x)8
由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，
即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，
所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
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