2.6对数与对数函数2022年高考一轮复习考纲展示知识梳理知识梳理知识梳理教材链接BD教材链接易错剖析易错剖析典例精析典例精析典例精析A归纳小结知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理教材链接教材链接易错剖析易错剖析易错剖析典例剖析典例剖析典例剖析典例剖析典例剖析练一练练一练练一练归纳小结跟踪练习知识梳理知识梳理典例精析典例精析典例精析典例精析典例精析归纳小结归纳小结归纳小结典例精析典例精析典例精析归纳小结典例精析典例精析典例精析典例精析归纳小结1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
考点1对数的运算
x＝logaN
N
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．
a
logaM＋logaN
nlogaM
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
loga(MN)＝____________；
loga＝____________；
logaMn＝________(nR)；
logamMn＝logaM.
logaM－logaN
N
logad
(2)对数的性质：
alogaN＝________；logaaN＝________(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式：
换底公式：logbN＝(a，b均大于0且不等于1)；
logab＝，推广logab·logbc·logcd＝________.
N
(2)[教材习题改编](log29)·(log34)＝()
A. B．
C．2 D．4
(1)[教材习题改编]lg＋lg的值是()
A. B．1
C．10 D．100
解：＋＝＋＝2lg5
＝2(1－lg2)＝2(1－m)．
(3)[教材习题改编]已知log53＝a，log54＝b，lg2＝m，求＋的值(用m表示)．
2
误用对数运算法则．
(1)log3－log3＋－1＝________.
解析：原式＝log3＋31＝log3＋3＝－1＋3＝2.
4
(2)(log29)·(log34)＝________.
解析：解法一：原式＝·＝＝4.
解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.
－
2
[典题1]()计算：log2＝________；2log23＋log3＝________；
(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.
3
[解析]log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log3＝2log23·2log3＝3×2log3
＝3×2＝3.
(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25
＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52
＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5
＝(1＋1)lg2＋2lg5
＝2(lg2＋lg5)＝2.
[解析]由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.
(2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝()
A. B．10C．20 D．100
[点石成金]对数运算的两个思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算．
考点2对数函数的图象及应用
1.对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1 图象
(0，＋∞)
(1,0)
增
f(x)－f(y)
y＜0
a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：________ 值域：________ 过定点________ 当x(0,1)时，________；
当x(1，＋∞)时，y＞0 当x(0,1)时，y＞0；
当x(1，＋∞)时，_______ 在(0，＋∞)上是____函数 在(0，＋∞)上是____函数 抽象
形式 f(xy)＝f(x)＋f(y)；
f＝________
R
y＜0
减
2．与绝对值相联系的函数图象
(1)y＝|logax|(a＞1)的图象如图.
(2)y＝loga|x|(a＞1)的图象如图.
(3)y＝|loga|x||(a＞1)的图象如图.
3．同一坐标系内不同底数的对数曲线的排列规律是：第一象限内，随着底数的逐渐变大，对应的对数函数的图象越靠右边，所谓“底大图右”．
解析：由x＋1>0得x>－1，且函数y＝log2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．
(1)[教材习题改编]函数y＝log2(x＋1)的单调递增区间是________．
(－1，＋∞)
解析：因为对数函数y＝logax的图象恒过点(1,0)，所以函数y＝loga(x－1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2的图象恒过点(2,2)．
(2)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过的点是________．
(2,2)
{x|x>3或x<－2}
对数函数常见两误区：概念；性质．
(1)函数f(x)＝lg的定义域是_________________，函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是________．
{x|x>3}
解析：由>0得x>3或x<－2，
所以函数f(x)＝lg的定义域为{x|x>3或x<－2}；
由得x>3，所以函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是{x|x>3}．可以看出f(x)与g(x)不是同一函数．
解析：函数f(x)＝lgx2的单调递减区间需满足x2>0且y＝x2单调递减，故x(－∞，0)．
(2)[2014·天津卷]函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是_____________．
(－∞，0)
A
[典题2](1)[2017·新疆乌鲁木齐一诊]设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a＜b)，则()
A．a＋b＞0 B．a＋b＞1
C．2a＋b＞0 D．2a＋b＞1
[解析]作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，
由f(a)＝f(b)，得
－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，
即ab＋a＋b＝0.
0＝ab＋a＋b＜＋a＋b，
即(a＋b)(a＋b＋4)＞0，显然－1＜a＜0，b＞0，
a＋b＋4＞0.a＋b＞0.故选A.
B
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是()
A. B.
C．(1，) D．(，2)
[解析]由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点.把点代入函数y＝logax，得a＝.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
解：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使不等式(x－1)2
[题点发散1]若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2
当0
当a>1时，如图，
要使当x(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.
又即loga2≥1，所以1
即实数a的取值范围是(1,2]．
解：不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，
其整数解集为{2,3,4}，
则应满足得≤a<.
即实数a的取值范围为[，)．
[题点发散2]若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2
[点石成金]利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合求解.
C
函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()
ABCD
考点3对数函数的性质及应用
答案：(0，＋∞)(1,0)10y>0y<0y<0y>0增减
1.对数函数的性质
y＝x
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
[考情聚焦]对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
主要有以下几个命题角度：
角度一
比较大小
A
[典题3](1)若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中不可能成立的是()
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
[解析](图象法)由loga2＜logb2＜logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1＜c＜b＜a；0＜a＜1＜c＜b；0＜b＜a＜1＜c；0＜c＜b＜a＜1.作出函数的图象(如图所示)．
由图象可知选项A不可能成立．
D
(2)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e，则()
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
解析：x＝lnπ＞lne，x＞1.
y＝log52＜log5，0＜y＜.
z＝e＝＞＝，＜z＜1.
综上可得，y＜z＜x.
[点石成金]比较对数函数值大小的三种方法
(1)单调性法：a＞1，f(x)＞0，g(x)＞0，则logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)＞0；
0＜a＜1，f(x)＞0，g(x)＞0，则logaf(x)＞logag(x)0＜f(x)＜g(x)．
适合题型：底数相同，真数不同．
(2)图象法：作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)，D(b,1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.
适合题型：底数不同，真数相同．
(3)中间值法：中间值法比较数式大小的关键是选定中间值，而中间值的选定在多数情况下取决于各个数式的特点．其中基本的解题方法是在各个数式对应的函数模型中借助图象、单调性等，将数式的大小与0比较，或与1比较．
适合题型：底数与真数都不相同．
[－8，－6]
角度二
由对数的单调性求参数或自变量的取值范围
[典题4](1)[2016·江苏徐州4月模拟]函数f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
[解析]设g(x)＝3x2－ax＋5，
由已知得即
解得－8≤a≤－6.
C(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()
A．(－1,0)(0,1)
B．(－∞，－1)(1，＋∞)
C．(－1,0)(1，＋∞)
D．(－∞，－1)(0,1)
[解析]由题意，可得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.
[点石成金]有关对数不等式的求解对策
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
C
角度三
对数函数性质的综合问题
[典题5](1)设函数f(x)＝|logax|(0＜a＜1)的定义域为[m，n](m＜n)，值域为[0,1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为()
A. B.或
C. D.或
[解析]作出y＝|logax|(0
得x＝a或x＝，
又1－a－＝1－a－
＝<0，
故1－a<－1，
所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.
C
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
[解析]解法一：不妨设a
解法二：作出f(x)的大致图象(图略)．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a
[点石成金]解决有关对数函数综合问题的三点要求
(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
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