4.6二倍角公式与简单的三角恒等变换2022年高考一轮复习能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的
恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).考试说明教学参考考点考查方向考查热度三角函数化
简化简三角函数式、综合解答题中变换三角函数式★☆☆三角函数求值求三角函数式的值、求角的值★★☆恒等变换的综合运用变换三角函数解析式
,求函数值域、最值、周期、单调区间等★★☆考情分析课前双基巩固2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2s
in2α知识聚焦课前双基巩固课前双基巩固题组一常识题对点演练课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固题组二常错题课前双基巩固课前双
基巩固课前双基巩固课前双基巩固探究点一三角函数式的化简课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向1给值求值课堂考点探
究探究点二三角函数式的求值课堂考点探究课堂考点探究考向2给角求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向3给值求角课堂考点探
究课堂考点探究课堂考点探究强化演练课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三三角恒等变换的综合应用课堂考点探究课堂
考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究再见2cos22sin21.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α
=.?(2)公式C2α:cos2α===.?(3)公式T2α:tan2α=.?2.常用的部分三角
公式(1)1-cosα=,1+cosα=.(升幂公式)?(2)1±sinα=.(升幂公式)?(3)sin
2α=,cos2α=,?tan2α=.(降幂公式)?sin±cos2sin(α+φ)(4)sinα=,cos
α=,tanα=.(万能公式)?(5)asinα+bcosα=,其中sinφ=,cosφ=.(辅助角公式)?3.三
角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α
=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.[解析]sin15°-cos15°=2=2(sin30°sin
15°-cos30°cos15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos45°=-.[答案]-1.sin15°-
cos15°的值是.?[答案]π[解析]f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.2.已知f(x)=
sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.?[答案]-[解析]由cos(α+β)=,cos(α-β)=,得解得所以
tanαtanβ==-.3.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanαtanβ的值为.?[解析]∵sin
θ=,θ为第二象限角,∴cosθ=-,∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=-.[答案]-4.已知sinθ=,
θ为第二象限角,则sin2θ的值为.?[答案]5.sin112.5°=.?[解析]sin2112.5°==,所以sin
112.5°=.[答案]6.已知α,β均为锐角,且tanα=7,tanβ=,则α+β=.?[解析]tan(α+β)==
=-1,又0<α+β<π,所以α+β=.[答案]2kπ-,k∈Z7.化简sinα-cosα=sin(α+φ)中的φ=.?[
解析]sinα-cosα=sinα-cosα,则cosφ=,sinφ=-,所以φ=2kπ-,k∈Z.[答案]-8.
已知sin2α=,2α∈0,,则sinα-cosα=.?[解析]因为2α∈0,,所以α∈0,,所以sinα-cosα
<0,所以sinα-cosα=-=-=-=-.[思路点拨](1)将+看成整体,通过求其平方进行化简;(2)根据二倍角公式及辅
助角公式化简f(x)的解析式,再根据所得解析式的特点求出f(x)的最大值.例1(1)+=()A.2sin3B.-2sin3
C.2cos3D.-2cos3(2)]已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的
最大值为.?[解析](1)+======-2cos3.(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+
α)=1-+sin2(x+α)=+sin2(x+α)+cos2(x+α)=+sin2(x+α)+=+sin2x+2α+.当2
x+2α+=+2kπ,k∈Z,即x=-α++kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值.[答案](1)B(2)[总结反思](1)化简
标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起
到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sinα>cosα;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sinα
α=2或cosα=0.所以当tanα=2时,sin2α+sin2α==;当cosα=0时,sin2α+sin2α=1,应
填或1.变式题已知sin2α-2=2cos2α,则sin2α+sin2α=.?[思路点拨](1)将待求式平方,并利用
同角三角函数的基本关系、二倍角公式求解;(2)根据cosx-=,求出cos2x-和sin2-x的值,再求和.例2(1)已知co
sθ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=.?(2)已知cosx-=,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-B.C
.D.-[答案](1)(2)C[解析](1)∵cosθ=-,θ∈(π,2π),∴θ为第三象限角,∴sinθ=-=-,∴∈
,,∴sin+cos>0.又sin+cos2=1+sinθ=,∴sin+cos=.(2)∵cosx-=,∴cos2x-=cos2
x--π=cosπ-2x-=-cos2x-=1-2cos2x-=1-2×=,sin2-x=1-cos2-x=1-cos2x-=1
-=,∴cos2x-+sin2-x=+=.[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解
题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.[思路点拨]分子使用二倍角公式展开,分母的根号中用平方关系开方
,将整个分式约分后,再将分子逆用两角和的余弦公式求解.例3求值:=()A.1B.2C.D.[答案]C[解析]原式======
=.[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后
得到具体的值.[思路点拨]先求出tan2α的值,进而求出tan(2α+β)的值,再确定2α+β的尽可能小的范围,通过求出的正切
值和角的范围得出角的大小.例4已知<α<π,-π<β<0,tanα=-,tanβ=-,求2α+β的值.解:易知tan=.∵ta
nα=-,∴tan2α===-,∴tan==-1.∵tanα=-∈,且α∈,∴α∈.∵tanβ=-∈,且β∈,∴β∈,∴2
α+β∈,故由tan=-1可知2α+β=.[总结反思]通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值
,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好
;若角的范围为-,,则选正弦较好.[答案]B[解析]因为cosπ-2θ=2cos2-θ-1=-,所以cos-θ=±,所以s
in+θ=sin--θ=cos-θ=±.故选B.1.【考向1】已知cosπ-2θ=-,则sin+θ的值等于()A.B.±C.-
D.[答案]A2.【考向3】若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,则α+β的值是()A.B.C.或D.
或[解析]∵α∈,π,β∈π,,∴2α∈,2π,又0=-,∴cos(β-α)=-=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin
(β-α)=-×--×=.又α∈,,β∈π,,∴α+β∈,2π,∴α+β=.[答案][解析]由题意得=,所以tanα=-3,
tan2α==.3.【考向1】若=,则tan2α等于.[答案]1[解析]∵====1.4.【考向2】=.?[思路点拨]
(1)利用二倍角和辅助角公式将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,根据两条相邻对称轴之间的距离为,求出ω,即可求解对称轴
方程.(2)利用零点为x1,x2,求解x1,x2的对称轴,即可求cos(x1-x2)的值.例5已知函数f(x)=sinωxco
sωx-cos2ωx+(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(
x)-在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.解:(1)f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+
=sin2ωx-cos2ωx=sin2ωx-,由题意可得周期T=π,即=π,∴ω=1,∴f(x)=sin2x-,由2x-=k
π+(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函数y=f(x)图像的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)由函数y=f(x)-在(0,π)上
的零点为x1,x2,可知sin2x1-=sin2x2-=>0,且0))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cosx1--x1=cos2x1-=cos2x1--=sin2x1-=
.[总结反思](1)求三角函数解析式y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算
时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.解:f(x)=2sinx(cosx-sinx)=2sinxcosx-2
sin2x=sin2x+cos2x-1=2sin2x+-1.(1)∵x∈-,,∴2x+∈-,.∴-f(x)在-,上的值域为(-2,1].变式题已知函数f(x)=2sinx(cosx-sinx).(1)求函数f(x)在-
,上的值域;(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.(2)∵f(x)=2sin2x+-1,f(C)=0,∴sin2C+=.∵0
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