第八章立体几何与空间向量§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系大一轮复习讲义考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以
作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.内容索引主干梳理基础落实题型突破
核心探究课时精练1主干梳理基础落实ZHUGANSHULIJICHULUOSHI1.四个公理公理1：如果一条直线上的____
在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平
面有一个公共点，那么它们_____________过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.两点知识梳理
不在一条直线上有且只有一条平行2.空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类_____直线_____直线平行共面直线相交异面直
线：不同在_____一个平面内，没有公共点任何(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a
，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).锐角(或直角)②范围：______.3
.空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：_____________、_______________、_________
_______三种情况.4.空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有_____、_____两种情况.5.等角定理如果空间中
两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.直线与平面相交直线与直线在平面内平面平行平行相交相等或互补微思考1
.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平
行或相交或异面.2.平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示平行或相交.题组一思考辨析1.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合.()(2)三条两两相交的直线确定一个平面.
()(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l?α.()(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相
交，记作α∩β＝a.()基础自测××√√题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A
D的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30° B.45°C.60° D.90°√解析连接B1D1，D1C(图
略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°
.3.如果直线a?平面α，直线b?平面β.且α∥β，则a与bA.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线√解析α
∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.4.两两平行的三条直线可确定______个平面.1或3解析若三条直线
在同一平面内，则确定1个平面.若三条直线不共面，则确定3个平面.题组三易错自纠5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面
α的位置关系是A.b?αB.b∥αC.b?α或b∥αD.b与α相交或b?α或b∥α√解析由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，
b与α相交或b?α.6.下列关于异面直线的说法正确的是____.(填序号)①若a?α，b?β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，
b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面.④解析①a?α，
b?β，则a与b可能平行，异面或相交.②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面.③a，b不同在α内，则a与b异面或平行.
④由异面直线的定义可知正确.2题型突破核心探究TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型一平面基本性质的应用师生共
研例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；证明
如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D
1，F四点共面.(2)CE，D1F，DA三线共点.证明∵EF∥CD1，EF则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线
DA，∴CE，D1F，DA三线共点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点
)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中
两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和
AD上的点.若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.证明因为K∈EH，EH?平面ABD，所以K∈平面
ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.题型二判断空
间两直线的位置关系师生共研例2(1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，则m，n的位
置关系不可能是A.垂直B.相交C.异面D.平行√解析依题意，m∩α＝A，n?α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)
，一定不平行.(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列
说法正确的是A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1
C平行√解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以
直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是
异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确
；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.思维升华(1)点
、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面
的位置关系.(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.跟踪训练2
(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A.平行 B.异面C.相交或平行 D.
平行或异面或相交均有可能√解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况.(
2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直
线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为______.(注：把
你认为正确的结论序号都填上)③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC
1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1
与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
题型三求两条异面直线所成的角师生共研例3(2020·安阳模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，
过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cosθ＝____.解析如图所示，设正方体的表面ABB1A1
的中心为P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作
：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.跟踪训练
3(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
√解析如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直
线AD1与DB1所成角或其补角.3课时精练KESHIJINGLIAN基础保分练1.(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那
么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3√1234567
8910111213141516解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有
且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③
错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.123456789101112131415162.(
2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A.充分不必要条件 B.必要
不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析如图，直线l，m，n不过同一点，且l，m，n共面有三种情况：①同一平面内
三线平行；②两平行线与另一线相交；③三线两两相交.因此，“l，m，n两两相交”是“l，m，n共面”的一种情况，即“l，m，n共面”
是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件.123456789101112131415163.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b
，c满足：a?α，b?β，c?γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面√12
345678910111213141516解析设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又
α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面.若l与a
或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.123456789101112131415164.
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的A
.AB.C1C.A1D.C√解析如图，连接A1D，A1E，因为A1D1∥BE，所以A1，D1，B，E四点共面，设A1
E∩BD1＝M，显然平面DEM与平面A1DE重合，从而平面DEM经过点A1.123456789101112131415165.在如
图所示的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是A.平行 B.
相交但不垂直C.垂直 D.异面√解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，∴四边形BFOE是平行四边
形，∴BF∥OE，∵BF?平面AD1E，OE?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.123456789101112131415166
.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD内过点B作BP⊥平面
ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为√12345678910111213141516解析由题意知，平面BCD⊥
平面ACD，且BP⊥平面ACD，那么随着点D的变化，BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以
BC为直径的圆的一部分，123456789101112131415167.如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，
则直线GH，MN是异面直线的图形有_____.(填序号)②④12345678910111213141516解析①中GH∥MN；②
中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交
；④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，因此GH，MN是异面直线.123456789101112131415168.如图，已
知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的
正切值为____.12345678910111213141516解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆
柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1
的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，1234567891011121314
15169.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_______
_.②③④12345678910111213141516解析还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知G
H与EF异面，BD与MN异面.又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的
序号是②③④.1234567891011121314151610.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若
两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a
?α，b?β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交.其中正确的序号是______(将你认为正确的序
号都填上).③④12345678910111213141516解析①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.∵α∥β
，∴α与β无公共点，又∵a?α，b?β，∴a与b无公共点.④对.由已知及③知，a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β
也可能平行.1234567891011121314151611.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都
是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证
明：四边形BCHG是平行四边形；证明由已知FG＝GA，FH＝HD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形.123456789
10111213141516(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由
(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.12345678910111213141
51612.已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成角的余弦值为，点P，Q，M，N分别是AB
，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形PQMN是平行四边形；证明因为P，Q分别是AB，BC的中点，所以PQ∥MN，PQ＝M
N，所以四边形PQMN是平行四边形.12345678910111213141516(2)求四边形PQMN的面积.解因为P，N分别
是AB，AD的中点，又因为PQ∥AC，所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC，BD所成的角，1234567891011121314
1516技能提升练13.(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线
段ED的中点，则A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，E
N是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线√12345678910111213141516解析如图，取CD的中点O，
连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面
ABCD.所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，1234567891011121314
1516连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线
.1234567891011121314151614.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平
面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为√12345678910111213141516解析如图所示，
设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平
面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的
大小相等，即∠CD1B1的大小.又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，12345678910111213141516拓展冲
刺练15.(2020·大庆铁人中学模拟)小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：①12条棱中可构成16对异面直线
；②过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；③以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是；④与正方体各棱
相切的球的体积是.其中正确的序号是____.④12345678910111213141516解析对于①，12条棱中可构成异面直
线的有24对，原因为：对于每一条棱，有三条和它平行，四条和它相交，因此有4条和它异面，而扩展到12条棱为12×4＝48，而由于两条
作为一对，需要再除以2，得到24对，故错误；对于②，如图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，故错误；12345
678910111213141516对于③，先画出图形：对于④，由于此球与正方体的各棱相切，则球的半径正好是正方体的面对角线的一半
，1234567891011121314151616.如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD
的中点.将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A－EF－D与二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如图2所示
的多面体.(1)在多面体中，求证：A，B，D，E四点共面；12345678910111213141516证明因为二面角A－EF－
D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面D
EFC，同理，可得BD⊥平面DEFC，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面.12345678910111213141516(2
)求多面体的体积.解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF
的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，12345678910111213141516本课结束更多精彩内容请登录：
www.xinjiaoyu.com大一轮复习讲义则cos∠POC1＝＝＝.OC1＝，PC1＝，设正方体的棱长为2，则OP＝A1D＝
，A.B.C.D.DM＝＝，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DB1＝＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，A.B.C.D.π即得点P的轨迹长度为×2π×1＝.由题知随着点D的变化，∠BCD的范围为，可得点P的轨迹是以BC为直径的圆的，所以C1D＝AD，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.所以直线AC1与AD所成角的正切值为，可得GH綊AD.又BC綊AD，解∵BE綊AF，G是FA的中点，所以PQ∥AC，且PQ＝AC，同理MN∥AC，且MN＝AC，所以四边形PQMN的面积为S＝PQ·PN·sin∠QPN＝10××＝5.所以PN∥BD，PN＝BD＝，所以sin∠QPN＝＝＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，则MP＝，CP＝，设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，得BM＝，所以BM≠EN.A.B.C.D.∴∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝.4＋4则V＝πR3＝π×3＝，故正确.正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为×2＝，正方体的棱长为2，则球的半径是R＝＝，表面积为8××2＝4，故错误；又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝S梯形CDEF·AE＋S△BCD·DE＝. |
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