第十三章 §13.1 第2课时 参数方程

第十三章§13.1坐标系与参数方程第2课时参数方程大一轮复习讲义考试要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线
、圆和椭圆的参数方程.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练1主干梳理基础落实ZHUGANSHULIJICH
ULUOSHI1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以____从参数方程得到
普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t
)，那么就是曲线的参数方程.知识梳理通过消去参数2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα
(x－x0)__________________________圆__________(θ为参数)x2＋y2＝r2椭圆_____
___________________抛物线y2＝2px(p>0)微思考(1)t的几何意义是什么？提示t表示在直线上过定点P0(
x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量.(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？2
.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？提示θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“
√”或“×”)基础自测√√××题组二教材改编A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上C.在直线y＝x－1上 D.在直线
y＝x＋1上√所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝
－2x上.A.相离 B.相切C.相交且直线过圆心 D.相交但直线不过圆心√解析消去参数，得直线方程为x－y－1＝0，圆的方程
为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径R＝1，所以直线与圆相交，但不经过圆心.题组三易错自纠A.2x＋y＝0 B.2x
＋y－4＝0C.2x－y＝0 D.2x－y－4＝0√解析消去参数t，得2x－y＝4，所以与直线2x－y＝0平行，即没有公共点.设
k＝tanα，得直线的方程为y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，∴圆心到
直线y＝kx的距离为得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆.即圆心到直线的距离d≤r，2题型突破核心探
究TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型一参数方程与普通方程的互化师生共研解直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
从而点P到直线l的距离思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等
式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取
值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.(1)求曲线C的直角坐标方程及直
线l的普通方程；解曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的
，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.再将所得曲线向左平移1个单位长度，
设曲线C1上任一点P(cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离题型二参数方程的应用师生共研(1)求直线l与曲线C的普通方
程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，求线段MN的长度.思维升华(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方
程，再根据直线与曲线的位置关系来解决.(1)求C2的直角坐标方程；解由ρ＝8sinθ＋6cosθ，得ρ2＝8ρsinθ＋6
ρcosθ，∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝
25.(2)已知P(1,3)，C1与C2的交点为A，B，求|PA|·|PB|的值.∴t1t2＝－20，故|PA|·|PB|＝|t1
t2|＝20.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用师生共研(1)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝2，试求实数m的值
；解方法一将曲线C的极坐标方程ρ＝6sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，代入圆C的方程，由已知得|AB|＝2，解
得m＝1或m＝－7.方法二曲线C的极坐标方程是ρ＝6sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，直线l的直角坐标方程为x
－y－m＝0.所以圆心(0,3)到直线l的距离(弦心距)所以|m＋3|＝4，所以m＝1或m＝－7，(2)设M(x，y)为曲线C上任
意一点，求y－x的取值范围.解曲线C的方程可化为x2＋(y－3)2＝9，因为M(x，y)为曲线C上任意一点，思维升华在对坐标系与
参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价
转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化
归的数学思想.①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，∴曲线C1的普通方程为y2＝2
x，消去参数t，得C2的普通方程为x＋y＝4.②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
解ρ＝2cosθ变形为ρ2＝2ρcosθ. (ⅰ)将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入(ⅰ)式即
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. (ⅱ)②设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C
的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则t1t2＝18，故由参数t的几何意义知，|MA|
·|MB|＝|t1t2|＝18.3课时精练KESHIJINGLIAN基础保分练(1)当k＝1时，C1是什么曲线？12345解当k
＝1时，两式平方相加，得x2＋y2＝1，所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆.12345(2)当k＝4时，求C1与C2的
公共点的直角坐标.12345解当k＝4时，所以x≥0，y≥0，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0，曲
线C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0，1234512345(1)求|AB|；解令x＝0，则t2＋t－2＝0，解得t＝－2或
t＝1(舍去)，则y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12).令y＝0，则t2－3t＋2＝0，解得t＝2或t＝1(舍去)，则x＝2－2
－4＝－4，即B(－4,0).12345(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.则直线AB的
方程为y＝3(x＋4)，即3x－y＋12＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，直线AB的极坐标方程为3ρcosθ－ρs
inθ＋12＝0.12345(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；123451234512345(2)设直线l与曲线
C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|
t1－t2|12345技能提升练(1)写出C的极坐标方程；解由cos2α＋sin2α＝1消去参数α得圆C的普通方程为x2＋y2＝
16，所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝16，即ρ＝4.123451234512345拓展冲刺练(1)求曲线C1
和C2的直角坐标方程；12345解由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ，可知曲线C1的直角坐标方程为x2＝y＋1，可
得ρsinθ＋ρcosθ＝t，由ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－t＝0.12345(2)
若曲线C1和C2有且仅有一个公共点，求t的取值范围.12345由曲线C1和C2有且仅有一个公共点，12345本课结束更多精彩内容请
登录：www.xinjiaoyu.com大一轮复习讲义(t为参数)(t为参数)(φ为参数)＋＝1(a>b>0)1.在直线的参数方程
(t为参数)中，提示|P1P2|＝|t1－t2|＝.(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.()(2)方程(θ为参数)表示以
点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)参数方程表示的曲线为椭圆.()(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上
，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.()2.曲线(θ为参数)的对称中心解析由得3.直线(t为参数)与圆(θ为参数)
的位置关系为圆心到直线的距离为d＝＝<1，4.(2020·北京市西城区模拟)下列直线中，与曲线C：(t为参数)没有公共点的是±5.
已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的斜率为.得k＝±.＝
＝，解析由(t为参数)，得y＝xtanα，6.设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，则的最大值为
.设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，所以的最大值为.表示的是圆上的点和原点连线的斜率，所以≤1，解得－≤k≤，解析
由曲线C：(θ为参数)，例1在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为
曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，当s＝时，dmin＝.d＝＝，因此当点P的
坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，
以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.直线l的普通方程为x－y＋2＝
0.解将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，得曲线C1：x2＋＝1，d＝＝，得(2x－2)2＋y2＝4，即(x－1)2＋＝1，
则曲线C1的参数方程为(θ为参数).其中φ满足sinφ＝－，cosφ＝，所以点P到直线l的距离的最小值为.由三角函数知，当si
n(θ＋φ)＝1时，d取最小值，例2(2020·昆明期末)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程
为(θ为参数).由曲线C的参数方程为(θ为参数)，得直线l的普通方程为x－y－＝0，得曲线C的普通方程为＋＝1.解由直线l的参数
方程为(t为参数)，解得t1＝，t2＝－2，将其代入曲线方程＋＝1，化简得5t2＋4t－12＝0，由t的几何意义可得|MN|＝|t
1－t2|＝＝.解直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)，(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才
能利用t的几何意义解题.跟踪训练2(2020·武汉模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点
，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ＋6cosθ.解设A，B，得t2＋t－20＝0，则t1，
t2是该方程的两个实数根，把代入(x－3)2＋(y－4)2＝25，例3在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数).
以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝6sinθ.将直线l的参数方程(t是参数)，则t1＋t2
＝3－m，t1t2＝m2，整理得t2＋(m－3)t＋m2＝0，所以|AB|＝|t1－t2|＝，d＝＝2，圆心(0,3)到直线x－y
－m＝0的距离为＝2，其参数方程为(α为参数)，所以y－x的取值范围是[3－3，3＋3].y－x＝3＋3sinα－3cosα＝
3＋3sin，跟踪训练3(1)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝，C2的参数方程为(t为参数).解曲线C1的极坐标方程ρ＝，曲线C
2的参数方程为(t为参数)，解方法一将C2的参数方程代入C1的普通方程并化简得t2－3t＝0，方法二联立C1与C2的普通方程
得方程组则|AB|＝＝6.解得t1＝0，t2＝6，故|AB|＝|t1－t2|＝6.解得(2)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.解因为直线l过点M，所以将代入(ⅱ)式，整理得t2＋
5t＋18＝0.1.(2020·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程
为(t为参数)，两式相加得，曲线C1的方程为＋＝1，得＝1－，曲线C1的参数方程化为(t为参数)，平方得y＝x－2＋1,0≤x≤1
,0≤y≤1，联立C1，C2得解得＝或＝(舍去)，所以x＝，y＝，整理得12x－32＋13＝0，所以C1，C2公共点的直角坐标为.
2.(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.∴|AB|＝＝4.
解由(1)可知kAB＝＝3，3.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(1,0)，倾斜角为.以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos.解∵直线l过点P(1,0)，且倾斜角为，即(t为参数).∴l的参数方程为(t
为参数)，由ρ＝4cos，得ρ＝2cosθ－2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，∴C的直角坐标方程为(x－1)
2＋(y＋)2＝4.从而有x2＋y2－2x＋2y＝0，解将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得2＋2＝4，此时Δ＝()2－4×1
×(－1)＝7>0.＝＝＝.整理，得t2＋t－1＝0.则t1＋t2＝－，t1t2＝－1，∴t1，t2异号，4.(2020·绵阳南山
中学模拟)直线l的极坐标方程为ρsinθ＝8＋ρcosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为
参数).(2)射线θ＝与C和l的交点分别为M，N，射线θ＝与C和l的交点分别为A，B，求四边形ABNM的面积.所以S四边形ABNM＝S△OBN－S△OAM＝28.解把θ＝代入直线l的极坐标方程得ρN＝8(＋1)，同理ρB＝8(－1),又S△OAM＝×4×4sin＝4，ρNsin＝8＋ρNcos，ρN＝8，所以S△OBN＝ρBρNsin＝×8(－1)×8(＋1)＝32，5.(2020·麻城市实验高级中学月考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝t(其中t为常数).其中x＝sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]，由ρsin＝t，所以曲线C1的直角坐标方程为y＝x2－1，x∈[－，]，得函数y＝t与g(x)＝x2＋x－1，x∈[－，]的图象有且仅有一个公共点，令g(x)＝x2＋x－1，x∈[－，]，其图象如右：解由可知t＝x2＋x－1，所以由图象可知t∈(1－，1＋]∪.