1参数方程的概念2圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.[
知识链接]1.如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定
的地面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？答案物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，垂直高度为y，令y＝0，得t≈10
.10s.代入x＝100t，得x≈1010m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，可以使其准确落在
指定地点.答案(1)三个变量；(2)x，y都用变量t表示；(3)给定t的一个值，由方程可以惟一确定x，y的值.[预习导引]1.参
数方程的概念参数方程参数参变数普通方程(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际
意义的变数.x＝rcosθ，y＝rsinθ2.圆的参数方程这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM0
绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程a＋rcosθb＋r
sinθ要点一参数方程的概念(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程.规律方法将曲线的参数方程化为普通方程主要是消去参数，
简称为“消参”.消参的常用方法是代入消元法和利用三角恒等式消参法两种.解如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M
(x，y)要点二圆的参数方程及其应用例2已知圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点
，求|PC|＋|PD|的最大值.解以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AC|＝|BD|＝4，所
以C，D两点的坐标为C(－1,0)，D(1,0).因为点P在圆上，所以可设点P的坐标为(5cosθ，5sinθ).跟踪演练2
已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3si
nθ)2要点三参数方程的实际应用例3某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100
m/s，如图所示.(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；解如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0
s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，所以飞机投
弹ts后炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，其中，0≤t≤20.(2)如果飞机追击一辆速度为v
2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)解由于炸弹水平分运
动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝
(100－20)×20＝1600(m).规律方法本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运
动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.跟踪演练3如
果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?所以炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和
高度分别是1000m和1500m.(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在
距离汽车的水平距离多远处投弹？解由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s相对＝v相对t，所以飞
机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2400(m).课堂小结1.曲线的普通方程直接地反映了
一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也
可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲
线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标
.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一
点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物
理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点(
)D解析当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0.∴过点(2,0).BA.一条直线 B.两条射线C.一条线段
D.抛物线的一部分即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线.(－∞，0)∪(10，＋∞)所以2.请说出方程的特征.(1
)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数()并且对于t的每一个允许值，由方程组()所确
定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程()就叫做这条曲线的，联系变数x，y的变数t叫做，简称.相对于参数方程而言，直接
给出点的坐标间关系的方程叫做.(1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M
(x，y)，则(θ为参数).普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)解由题意可知有故∴a＝1.例1已知某条
曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上.由第一个方程得t＝代入第二个方程，得解由已知及(1)可得，
曲线C的方程为y＝2，即(x－1)2＝4y为所求.跟踪演练1设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速圆周运动，角速度为rad/
s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.又θ＝t(t的单位：s)，故参数方程为对应时刻t，由图可知因为|AB|＝10，所
以圆的参数方程为(θ为参数).＝＋＝.∴|PC|＋|PD|的最大值为2.所以|PC|＋|PD|＝＋＝当cosθ＝0时，(|PC
|＋|PD|)max＝＝2.规律方法如果取半径绕原点O逆时针旋转转过的角度θ为参数，圆x2＋y2＝r2对应的参数方程为同理，圆(
x－x0)2＋(y－y0)2＝r2对应的参数方程为(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，并代入计算的问题比
较方便.＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6sin.解由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的
点，设(θ为参数).∴11－6≤x2＋y2≤11＋6.∵－1≤sin≤1，∴x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.即解
将t＝10代入得A.(2,3)B.(1,5)C.D.(2,0)解析t＞0时x＝t＋≥2，2.方程(t为参数)表示的曲
线是()当t＜0，x＝t＋＝－(－t＋)≤－2.解析把圆的参数方程化成普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，由已知直线与圆
相离，∴>1，解得m<0或m>10，故填(－∞，0)∪(10，＋∞).3.若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)没有公共点，则实
数m的取值范围是______________________.解圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1；直线l的方程为x＋y＝1.圆心(0,2)到直线的距离为d＝＝，故所求弦长为2＝.4.已知圆C的参数方程为(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，求直线l截圆C所得的弦长. |
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