3参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为
普通方程解决有关问题.[知识链接]根据上节所学知识，你能将下列参数方程化为普通方程吗？答案∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－2≤
y≤0，∴普通方程是x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0).[预习导引]1.参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是
曲线方程的不同形式.一般地，通过可从参数方程得到普通方程.消去参数2.普通方程转化为参数方程x＝f(t)y＝f(t)要点一把参
数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线：4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一
条直线.解∵0≤t≤π，－1≤cost≤1,0≤sint≤1.∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，(x－1)2＋(y＋2)2＝16
cos2t＋16sin2t＝16.∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，它表示的曲线是以(1，－2)为
圆心，半径为4的上半圆.解由y＝－1＋cos2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2
(x－2)，即2x＋y－4＝0，又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段.
2.把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参
数方程的等价性.x2＋(y－1)2＝1∴x2＋(y－1)2＝1.要点二把普通方程化成参数方程例2求方程4x2＋y2＝16的参数
方程：(1)设y＝4sinθ，θ为参数；解把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16
sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.∴4x2＋y2＝16的参数方程是(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方
程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，椭圆4
x2＋y2＝16的参数方程是规律方法1.将普通方程化为参数方程的一般方法：2.将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同
一条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实际意义，也可没有具体
意义.跟踪演练2如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为_________.∵|OP|＝2r·
cosθ＝cosθ，∴x＝|OP|·cosθ＝cos2θ，y＝|OP|·sinθ＝cosθ·sinθ.(1)求M的轨迹
的参数方程；要点三参数方程的应用(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解M点到坐标顶点的距
离当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.规律方法本例考查了参数方程与普通方程的互化能力，考查了利用参数表示动点轨迹方程的运算
能力.C2的普通方程为x2＋y2＝1.(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当α变化时，求P点轨迹的参数方程，
并指出它是什么曲线.解C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα
)，课堂小结1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普
通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我
们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过
程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程
指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲
线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)()解析A化为
普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1].B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1].
C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1].
答案D解析将x＝sinθ－cosθ两边平方得x2＝1－sin2θ，即sin2θ＝1－x2，代入y＝sin2θ，得y＝
－x2＋1.4.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点).由②解出t＝y
－1，代入①中，方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的对称轴上面的部分.答案由已知，由三角恒等式
cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程.(1)(θ为参数)(2)(t为参数，π≤t≤2
π)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程.在参
数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持前后一致.解由已知t＝，代入y＝4t中，得(1)(t为参数)(2)(t为参数
，0≤t≤π)(3)(θ为参数)规律方法1.将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参
数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(e
x＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，2＋2＝1等.解析∵cos2α＋sin2α＝1，跟踪演练1参数方程(α为参数)化成普通
方程为_______________.和(θ为参数)∴x＝±.则x2＝.同理将x＝2t代入椭圆4x2＋y2＝16，得椭圆的参数方程
为和(t为参数).和(t为参数).已知把x＝f(t)y＝φ(t)―→解析由题意，得圆的标准方程为(x－)2＋y2＝()2，所
以圆的半径r＝.答案(θ为参数，θ∈R)所以圆的参数方程为(θ为参数，θ∈R)解依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(
2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数，0
＜α＜2π).例3已知动点P，Q都在曲线C：(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.d＝
＝(0＜α＜2π).跟踪演练3已知直线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数).(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；联立方程组
解当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，解得C1与C2的交点为(1,0)，.P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.故当α变化时，P
点轨迹的参数方程为(α为参数).故P点轨迹是圆心为，半径为的圆.A.B.C.D.解析消去参数得直线的标准方程为2x＋3y＝5
，即y＝－x＋，所以直线的斜率为－.2.直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为______.－又x＝sinθ－co
sθ＝sin(θ－)，∴－≤x≤，y＝－x2＋1(－≤x≤)3.把参数方程(θ为参数)化成普通方程是_________________________.故普通方程为y＝－x2＋1(－≤x≤).解由x＝1－≤1得＝1－x，代入y＝1＋2得到y＝3－2x.又因为x≤1，所以参数方程等价于普通方程y＝3－2x(x≤1).(1)(t为参数).解(2)(t≥0，t为参数).得x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－x(y≥1). |
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