二圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及其应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、
有关点的轨迹问题.[知识链接]试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.答案由cos2θ＋sin2θ＝1，
它表示的曲线是椭圆.它表示的曲线是双曲线.即y2＝2px(p>0)，它表示的曲线是抛物线.[预习导引]1.椭圆的参数方程bsin
φasecφbtanφ[0，2π)2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程－2pt22pt要点一椭圆参数方程的应用解由
动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B
(0,3).规律方法本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.则点P到直线AB
的距离是要点二双曲线参数方程的应用∵AB过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，规律方法本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.
一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，
收到事半功倍的效果.ρ2cos2θ＝1解析由sec2φ－tan2φ＝1得双曲线的普通方程为x2－y2＝1，令x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ，得双曲线的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos2θ＝1.要点三抛物线参数方程的应用例
3设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.∴M的轨
迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0).当t＝0时，M(0,0)满足题意且适合方程2x2－px＋y2＝0，故所求的轨迹方程为2x
2－px＋y2＝0.规律方法用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得
到动点的参数方程，然后再消去参数化为普通方程，如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中间变量.跟踪演练3
设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机
后的轨迹方程；解如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设
M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得这是
炸弹飞行曲线的参数方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.解炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝
0，即飞机在离目标约1643m(水平距离)处投弹才能击中目标.课堂小结5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点
的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.DA.抛物线B.一条直线C.椭圆D.双曲线2.下列参数方程(
t为参数)中，与方程y2＝x表示同一曲线的是()B解析A，C，D项中y≥0，而题设中函数y的值域为全体实数，故A，C，D项中
的方程与方程y2＝x表示的不是同一曲线，均排除.通过B项中的方程组可求得y和x的关系式为y2＝x符合题意，故选B.解析因x2＝1
＋sinα，y2＝2＋sinα，所以y2－x2＝1，1解析点P(1,0)到曲线上的点的距离设为d，所以点P到曲线上的点的距离
的最小值为1.得＋＝1(a>b>0)，(1)(θ为参数，a、b为常数，且a>b>0)答案由已知＝，tanφ＝，有－＝1(a＞
0，b＞0)，(2)(φ为参数，a、b为常数，且a>0，b>0)由＝1＋tan2φ，答案由已知t＝，代入x＝2pt2(3)(
t为参数，p为常数，且p>0)得·2p＝x，普通方程参数方程＋＝1(a>b>0)(φ为参数)＋＝1(a>b>0)(φ为参数)在双曲
线－＝1(a>0，b>0)的参数方程中，通常规定参数φ的范围为，且φ≠，φ≠.普通方程参数方程－＝1(a>0，b>0)(φ为参数
)－＝1(a>0，b>0)(φ为参数)(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)，t∈(－∞，＋∞).(2)抛物线
y2＝－2px(p>0)的参数方程为(t为参数)；(3)抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程为(t为参数)；(4)抛物线x2＝－
2py(p>0)的参数方程为(t为参数).例1已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G
的轨迹的普通方程.由此消去θ得到＋(y－1)2＝1即为所求.由重心坐标公式可知解依题意A(4,0)，B(0,3)，AB＝5，直线
AB：＋＝1，即3x＋4y－12＝0，设点P的坐标为(4cosθ，3sinθ)，跟踪演练1已知椭圆C：＋＝1与x正半轴、y
正半轴的交点分别为A，B，动点P是椭圆上任一点，求△PAB面积的最大值.当sin(θ＋)＝－1时，dmax＝，d＝＝|sin(θ＋
)－1|，所以△PAB面积的最大值是S＝AB·dmax＝6(＋1).证明如图所示，设P，A.例2设直线AB过双曲线－＝1的中心
O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点.求证：直线PA，PB斜率的乘积为定值.从而kPA·kPB＝·＝＝为定值.于是有
B，＝＝跟踪演练2双曲线(φ为参数)的极坐标方程为____________.QF的方程为y＝－2t，解设P点的坐标为(2pt2
，2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t后，得y2＝－2x
.消除参数t，得y＝588－4.9×＝588－即为炸弹离开飞机后的轨迹方程.(g＝9.8m/s2)，即由此得x0＝150×2＝3
00≈1643(m).即588－4.9t2＝0，解得t0＝2.1.圆的参数方程中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的参数
φ是椭圆上点M的离心角.2.椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cotφ
、secφ、cscφ的意义分别为cotφ＝，secφ＝，cscφ＝.4.抛物线的参数方程(t为参数)，由于＝，因此t的
几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.解析由参数方程平方相减可得4x2－y2＝16，即－＝1，故答案为
双曲线.1.参数方程(t为参数)的普通方程是()A.B.C.D.又因x＝sin＋cos＝sin(＋)，所以答案为y
2－x2＝1(|x|≤且y≥1).3.参数方程(α为参数)表示的普通方程是_________________________.y2
－x2＝1(|x|≤且y≥1)则d＝＝＝＝t2＋1≥1.4.点P(1,0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为____.解因椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，因此S＝x＋y＝cosφ＋sinφ＝2＝2sin.所以，当φ＝时，S取最大值2.5.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值.故可设动点P的坐标为(cosφ，sinφ)，其中0≤φ<2π. |
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