三直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.[知识链接]答案消去参数t后，得到的方程为y
＝xtanα，表示的图形为经过原点倾斜角为α的直线方程.求：(1)曲线的弦M1M2的长是多少？答案弦M1M2的长|M1M2|＝
|t1－t2|.(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？[预习导引]1.直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋
tsinα2.参数的几何意义正数负数零要点一直线参数方程的标准形式(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求
直线l的倾斜角；要点二利用直线的参数方程求曲线的弦长例2已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两
点.(1)求|AB|；解抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.(1)|AB|＝|t1－t2
|；(1)求曲线C的直角坐标方程；所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|A
B|的最小值.解将直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－2tcosα－1＝0.要点三直线参数方程的综合应用所以当
sin2α＝1时，规律方法利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为
方便.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.因为|MN|2＝|PM|·|P
N|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2.解得a＝1.课堂小结D(－3,4)或(－1,2)x－2y
－4＝0代入抛物线方程y2＝4x，1.我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家考虑参数方程(t是参数)表示
的是怎样的图形？答案线段M1M2的中点M对应的参数t＝.2.在阅读教材的基础上，已知直线(t为参数)与曲线y＝f(x)交于M
1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).直线的参数方程中参
数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点到定点M0(x0，y0)的距离.当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取；当与
e反向时，t取；当点M与点M0重合时，t为.解由直线l：(t为参数)知当t＝0,2，－2时，例1已知直线l：(t为参数).
解方法一化直线l：(t为参数)为普通方程为y－2＝(x＋)，其中k＝tanα＝，0≤α<π.分别对应直线l上的点(－，2)，
(0,3)，(－2，1).∴直线l的倾斜角α＝.这是过点M0(－，2)，且倾斜角α＝的直线，方法二由于直线l：(t为参数)，故为
所求.解由上述可知直线l的单位方向向量e＝＝.∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)
.(3)求直线l上的点M(－3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.∵M0(－，2)，M(－3，0)，∴点M对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，规律方法1.一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的
参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式.特别地，当α＝时，直线的参数方程为(t为参数).2.直线参数方程的形式不同，参
数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数).解析由题意可得直线l的参数方
程为(t为参数)，根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1).跟踪演练1直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2
＝0于M点，则|MM0|＝__________.代入直线方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1).6(＋1)依
题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中tanα＝2，cosα＝，sinα＝，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理
得t2－2t－20＝0.＝＝＝10.设＝t1e，＝t2e，其中e＝，则t1＋t2＝2，t1t2＝－20.||＝|－|＝|t2e－t
1e|＝|t2－t1||e|＝|t2－t1|∴－＝－，即＝(＋)，故点M对应的参数为＝，解由于AB的中点为M，则＝，又＝(＋)＝
e，∴M(3,2)，|FM|＝＝.(2)线段AB的中点M对应的参数t＝，且|M0M|＝.规律方法设二次曲线C：F(x，y)＝0，
直线l：(t为参数)，如果l与C相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等
实数根t1、t2，此时＝t1e，＝t2e，e＝(cosα，sinα)，于是易得以下两个常见的公式：解由ρ＝，得(ρsinθ
)2＝2ρcosθ，跟踪演练2以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的参数
方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，设A、B两点对应的参数分别为t1、t
2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，当α＝时，|AB|取最小值2.解设直线为(t为参数)，例3过点P作倾斜角为α的直线与曲线x
2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.代入曲线并整理得(1＋11sin2α)t2＋(cosα
)t＋＝0.|PM|·|PN|的最小值为，此时α＝.则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝.跟踪演练3在直角坐标系中，以原点为极点
，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为，
直线l与曲线C分别交于M，N两点.解由C：ρsin2θ＝2acosθ，得(ρsinθ)2＝2aρcosθ，所以曲线的普通
方程为y2＝2ax.由直线l的参数方程消去参数t，得x－y－2＝0.代入y2＝2ax,得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0
，解直线l的参数方程为(t为参数)，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角
为α的直线l的参数方程为(t为参数).其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，可为正、为负
，也可为零.2.在直线参数方程中，如果直线上的点M1、M2所对应的参数值分别为t1和t2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中
＝·(t1＋t2).解析k＝＝－＝－.1.若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为()A.B.－C.D.－
解析由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2).2.
直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是__________________.解析由题设知，椭圆的长半轴长a＝
5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，
因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.3.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程为_____________.解将直线l的参数方程4.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.解得t1＝0，t2＝－8.得2＝4，所以|AB|＝|t1－t2|＝8. |
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