专题06三角函数及解三角形.（2020·新课标Ⅰ）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）
A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0
【答案】D
【解析】当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
A. B. C.1 D.
【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
可得，即
由
故.
.（2020·新课标Ⅲ）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）
A.–2 B.–1 C.1 D.2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
.（2020·）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
.（2020·北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
.（2020·）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
1.（2020·卷）已知，则________；______．
【答案】(1).(2).
【解析】，
，
.（2020·卷）已知=，则的值是____.
【答案】
【解析】
1.（2020·卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】
当时
故答案为：
1.（2020·卷）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
1.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
1．【2019全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
2．【2019全国Ⅰ卷】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
3．【2019全国Ⅱ卷】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．
图1
图2
图3
4．【2019全国Ⅱ卷】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
5．【2019全国Ⅲ卷】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】若在上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故正确；
由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故错误；
当=sin（）=0时，=kπ（kZ），所以，
因为在上有5个零点，
所以当k=5时，，当k=6时，，解得，
故正确.
函数=sin（）的增区间为：，.
取k=0，
当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，
综上可得，在单调递增.故正确.
所以结论正确的有.故本题正确答案为D.
6．【2019天津卷】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
7．【2019北京卷】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数，周期为.
8．【2019全国Ⅱ卷】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
9．【2019江苏卷】已知，则的值是▲.
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
10．【2019浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.
．全国Ⅲ卷若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.故选B.
．全国卷II若在是减函数，则的最大值是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，
故选A.
．的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数
A．上单调递增B．上单调递
C．上单调递增D．上单调递
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足，即，
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足：，即，
令可得一个单调递减区间为：.
.
4．函数y=sin2x的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项AB；
因为时，，所以排除选项C，选D.
．在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，，，，故选C.
．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．
【答案】3
【解析】由正弦定理得，所以
由余弦定理得（负值舍去）.
．已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为函数的增区间为
所以当时，函数取得最小值，此时
所以故答案是.
．设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，ω取最小值为.
．函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】，由题可知，或解得或故有3个零点
11．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
．Ⅰ】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
．设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在(，)单调递减
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；
函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；
，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；
当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.
故选D.
．，，其中，．若，，且的最小正周期大于则
． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
．中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
所以，
故选A.
．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．?点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cosBDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，由题意：，
△ABE中，，∴，
∴．
∵，∴，
或（舍去）．
综上可得，△BCD面积为，．
．函数)的最大值是.
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，
当时，函数取得最大值1.
．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
．已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以
，
因此
．若则▲．
【答案】
【解析】．故答案为．
【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
（A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5
【答案】B
【解析】因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，的最大值为9.故选B.的图象，只需把函数的图象上所有的点()
（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
3.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则
（A）（B）（C）（D）
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．【，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】，
且，故选D.
5.【的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
6.【2016高考新课标3理数】若，则（）
(A)(B)(C)1(D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．，则的最小正周期（）
A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
【答案】
【解析】时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选．【2016年高考北京理数】将函数上的点向左平移（）个单位长度得到点若位于函数的上，则
A.，的最小值为，的最小值为
，的最小值为，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
=.
【答案】
【解析】[由二倍角公式得
10.【的内角的对边分别为，若，，，则
【答案】
【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
【答案】
【解析】[来源:Zxxk.Com]
12.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【解析】因为，＝
，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平
移个单位长度得到．
13.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小周期是
（A）（B）π（C）（D）2π
B
【解析】,故最小正周期,故选B.
△ABC中，若,BC=3，,则AC=（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
15.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是▲.
【答案】7
【解析】由，因为，所以共7个
16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是▲.
【答案】8.
【解析】，又，因此
即最小值为8.
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