高中数学必修一至必修五知识点总结(最新最全) |
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必修1
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA
二、集合间的基本关系
任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。(即A和B中所有的元素)记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)(即除去A剩下的元素组成的集合)
四、函数的有关概念
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
4.了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a 如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a 注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a (2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:任取a,b∈D,且a (B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
第二章基本初等函数
一、指数函数
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponentialfunction),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0 图象逐渐上升 自左向右看,
图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a,b]上,值域是或;(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数,总有;(4)当时,若,则;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)
说明:注意底数的限制,且;
;
注意对数的书写格式.
两个重要对数:
常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数的对数.
对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← →幂底数
对数 ← →指数
真数 ← →幂
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:(1)·+;(2)-;(3).
注意:换底公式(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
(2)对数函数和指数函数的联系是x和y的位置
如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2、对数函数的性质:
a>1 0 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
求函数的零点:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
必修2
立体几何初步
1.特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
2.柱体、锥体、台体的体积公式
3.球体的表面积和体积公式:;
4.空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1平面含义:平面是无限延展的
2三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L=>Lα
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4注意点:
①a''与b''所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,
为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=P=>β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβ=>a∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
第三章直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
当时,;当时,;当时,不存在。
②过两点的直线的斜率公式:(P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式:直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:()直线两点,
④截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式:(A,B不全为0)
注意:各式的适用范围特殊的方程如:
平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);
(6)两直线平行与垂直当,时,
;
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,
则
第四章圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
点与圆的位置关系:
当>,点在圆外
当=,点在圆上
当<,点在圆内
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
必修三
:辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
①用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数;②若=0,则n为m,n的最大公约数;若≠0,则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;③若=0,则为m,n的最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数;……依次计算直至=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。
(2)更相减损术
①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。②以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
(3)辗转相除法与更相减损术的区别:
①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
②从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
8:秦九韶算法与排序(1)秦九韶算法概念:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章:统计
1:简单随机抽样
类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的机会相等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取 再起时部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个数较多 分成抽样 经总体分成几层,分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 第三章:概率
2:概率的基本性质
(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1
(2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(3)若A∩B为不可能事件,即A∩B=,那么称事件A与事件B互斥;
(4)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(5)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);
若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
(6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:①事件A发生且事件B不发生;②事件A不发生且事件B发生;③事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;④事件A发生B不发生;⑤事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3:基本事件
(1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分的最简单的随机事件。
(2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件的和。
4:古典概型:
(1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型满足两个条件:
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式
5:几何概型
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:;
(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出现的可能性相等.
必修4
第一章三角函数(初等函数二)
3、与角终边相同的角的集合为
7、弧度制与角度制的换算公式:,,.
8、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,.
9、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是,则,,.
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线:,,.
12、同角三角函数的基本关系:
;
第二章平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:
①交换律:;
②结合律:;
③.
⑸坐标运算:设,,则.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
23、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.
若,则,或.
设,,则.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸();
⑹()必修5
第一章解三角形
1、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
2、正弦定理的变形公式:①,,;
②,,;③;
④.
3、三角形面积公式:.
4、余弦定理:在中,有,,.
5、余弦定理的推论:,,.
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状:设、、是的角、、的对边,则:①若,则;
②若,则;③若,则.
附:三角形的四个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点
第二章数列
11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示:。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①②2()③(为常数
12、由三个数,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为与的等差中项.若,则称为与的等差中项.
13、若等差数列的首项是,公差是,则.
14、通项公式的变形:①;②;③;
④;⑤.
15、若是等差数列,且(、、、),则;若是等差数列,且(、、),则.
16、等差数列的前项和的公式:①;②.③
18、如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示:(注:①等比数列中不会出现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
①②(,)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}()成等比数列.
19、在与中间插入一个数,使,,成等比数列,则称为与的等比中项.若,则称为与的等比中项.(注:由不能得出,,成等比,由,,)
20、若等比数列的首项是,公比是,则.
21、通项公式的变形:①;
22、若是等比数列,且(、、、),则;若是等比数列,且(、、),则.
23、等比数列的前项和的公式:①.②
第三章不等式
一元二次不等式的求解:
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数
()的图象 一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
11、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
12、均值不等式定理:若,,则,即.
高中数学必修1至必修5知识点总结(复习专用)人教版
富宁一中
-18-
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
共面直线
=>a∥c
Pv
x
y
A
O
M
T
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