函数中“恒成立”问题求解对策十种
本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。
一.利用函数思想
例1.已知，当时，f（a）恒为正数，求a的取值范围。
分析：从表面结构看f（a）是一个以为变量的二次函数，而实质是变量x的一次函数，因此可构造x的一次函数求解。
解：原式变形为
因为在区间上恒正，所以，即且
解得
二.分离参数法
例2.设，如果对满足的x，y，不等式恒成立，求r的取值范围。
解：令
因为，故不妨设，代入得
上式对内的一切都成立，故对上述区间内的
的最小值也成立
因为
所以
所以
当时等号成立（因为，所以）
所以的最小值是
所以
三.判别式法
例3.已知函数在其定义域内恒为非负，求方程的根的取值范围。
解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为
当时，则
所以
所以
当时，则
所以
所以方程的根的取值范围是
四.利用函数的单调性
例4.已知不等式，对一切大于1的自然数n恒成立，试确定参数a的取值范围。
分析：显然，只需令函数的最小值不小于即可。
解：设
因为
所以f（n）是增函数，所以，且时，
要使对一切大于1的自然数n恒成立
必须有
所以
因为
所以
解得
即a的取值范围是
五.（1）利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件
例5.已知（其中a为正常数），若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。
解：P变形为
设
因此，原题变为当t在区间［0，1］内任意取值时，f（t）恒为正，求b的取值范围。
由充要条件，当
（1）
或
（2）
时恒为正
解（1）得
解（2）得
故，当时，
当
（2）利用一元二次不等式在区间上恒成立的充要条件。
例6.已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在上是增函数，对任意实数，问是否存在这样的实数m，使得对所有的都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：因为f（x）为奇函数，且在上是增函数
所以f（x）在上为增函数，且由，得，即，由此原不等式可化为
于是问题可化为：当时，不等式是否成立。
依充要条件有：
（1）
或
（2）
或（3）
解（1）得
解（2）得实数m不存在
解（3）得
综上，当时，使得不等式对所有的都成立。
六.待定系数法
例7.是否存在常数a、b、c使得等式：
对一切自然数n都成立？证明你的结论。
解：因为
所以
显然当时等式对一切自然数n都成立。
七.不等式法
例8.求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有
解：设
则不等式可化为
由重要不等式
及不等式的传递性得知：
只需在且时恒成立即可
将上式化简得：
①
或 ②
由①只须恒成立，而
当且仅当时，有最小值
故此时即为所求
由②同理可以求得
故实数a的取值范围是
八.特值法
例9.若在区间上恒有，（1）对所有这样的f（x），求的最大值。
（2）试给出一个这样的f（x），使确实取到上述最大值。
解：因为时恒成立，则
而
因此得：
与等号成立时，只需同号，与异号
即
（或）
此时（或）
九.确立主元法
例10.设，若当时，P>0恒成立，求x的变化范围。
解：设
当时的图像是一条线段，所以a在上变动时，P恒为正值的充要条件是
即
解得
即x的取值范围是
注：改变看问题的角度，构造关于a的一次函数，灵活运用“恒成立”条件，使疑难问题转化为熟悉的问题。
十.整体换元法
例11.对一切实数x，若二次函数的值恒非负，则的最小值为__________________________。
解：由条件对一切恒成立，知且，所以
所以
考虑到式子是关于a、b的齐次二次分式，故可作如下变形。
令，则由，知
当且仅当
即
即时等号成立
所以
注：在多参数问题解题中，如果几个参数可结合成一个整体，则可适时采用整体换元的方法，达到减元消元的目的。
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