祁州一中2023年高考第二次模拟考试数学试卷（含答案）

祁州市第一中学2023年高考第二次模拟考试数学注意事项：1.试卷共6页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2．函数，的最小正周期为（）A．2B．C．D．3.直线与
直线互相垂直的充要条件是（）A．B．C．D．4.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．B
．C．D．5.已知数列的前n项和是，则下列四个命题中，错误的是（）A．若数列是公差为d的等差数列，则数列的公差为的等差数列B．
若数列是公差为d的等差数列，则数列是公差为2d的等差数列C．若数列是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D．若数列的奇
数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则是等差数列6．设双曲的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则此双曲线的离
心率等于（）A．B．C．D．7.已知是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若是奇函数，则也是奇函数
；④若是奇函数，则，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所
成角等于，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：4小题，每小题5分，共20分．在每小题
列出的四个选项中，选出符合题目要求的多项.9.设变量x，y满足，则的最值为（）A．-1B．2C．3D．410.已知，
若，则下列不等式不一定成立的是（）A．B．C．D．11.在等比数列中，已知成等差数列，且．则的前8项和为（）A．B．C．6
03D．7912.设，，e是自然对数的底数，则不正确的选项是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：4小
题，每小题5分，共20分．13.设，则二项式展开式的常数项是___________．14.已知函数，若，则的值为_______．1
5.若直线与直线的交点在椭圆上，则的值为______．16．如图，O为ΔABC的外心，,为钝角，M是边BC的中点，则的值为____
__．四、解答题：6小题，共70分．17.（10分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大
小；（Ⅱ）若角B是ΔABC的最大内角，求的取值范围．18.（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，分别为棱，的中点．
求证：（1）平面（2）平面．19.（12分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，正整数组（1）若，求的值；（2）若数组中
的三个数构成公差大于的等差数列，且，求的最大值．20.（12分）某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修
课，有3名学生选修什么课相互独立．（Ⅰ）求学生中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率；（Ⅱ）求课程丙或丁被这3名学生选修
的人数的数学期望．21.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦过点
，且与轴不垂直．若为轴上的一点，，求的值．22.（12分）已知函数记的导函数为（1）证明：当时，在上的单调函数；（2）若在处取得极
小值，求的取值范围；（3）设函数的定义域为，区间．若在上是单调函数，则称在上广义单调．试证明函数在上广义单调．祁州市第一中学202
3年高考第二次模拟考试数学答案解析1．【答案】A【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={1，
2，3}，N={1，3，4}，∴M∩N={1，3}．故选：．2．【答案】B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数
y=Acos（ωx+φ）的周期为，求得结果．【解答】解：∵y=cos2x，∴最小正周期T==π，即函数y=cos2x的最小正周期为
π．故选：3.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am
+bn=0解得即可．【解答】解：直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：mx+y+1=0?2m﹣1=0?m=．故选．4.【答案】B【
考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角
形A1BC1中求出此角即可．【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1
，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，故选．5．【答案】D【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的通项公式和前n
项和公式进行分析，并作出判断．【解答】解：A．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列{}为等差数列，且
通项为=a1+（n﹣1），即数列{}的公差为的等差数列，故说法正确；B．由题意得：=a1+（n﹣1）d，所以Sn=na1+n（n
﹣1）d，则an=Sn﹣Sn﹣1=a1+2（n﹣1）d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C．若数列{an}是等差
数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D．若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差
数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选：D．6．【答案】C【考点】KC：双曲线的简
单性质．【分析】根据点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，可得|PF1|=c，|PF2|=c，利用双曲
线的定义，可求双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的焦距长为2c，∵点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60
°，∴P在右支上，∠F2PF1=90°，即PF1⊥PF2，|PF1|=2csin60°=c，|PF2|=2ccos60°=c，∴由
双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）c=2a，∴e===+1．故选：C．7．【答案】A【考点】2K：命题的真假判断与应
用．【分析】①，由f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，；②，若f（x0）
≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾；③，由奇函数的性质及判定得f[f（﹣x
）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，即可判定；④，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）?x1=﹣x2?
x1+x2=0；若x1+x2=0?x1=﹣x2?f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）?f（x1）+f（x2）=0【解答】解：对于
①，∵f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正确；对于②，当f[f（x
0）]＞x0时，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾，故②正确；
对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（﹣x）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，∴f[f（x）]也是奇函数，故③正确；对于④
，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）?x1=﹣x2?x1
+x2=0；若x1+x2=0?x1=﹣x2?f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）?f（x1）+f（x2）=0，故④正确；故选：A
8．【答案】A【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由题意求出AB与平面ACD所成角的正弦值和余弦值，然后分类求出平面ACD
与平面α所成角的正弦值的最小值与最大值得答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，∴三棱锥A﹣BCD为正四面体，如图：
设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，则∠BAP为AB与平面ADC所成角．AP=BP=，可得sin，cos∠BAP=
．设∠BAP=θ．当CD与α平行且AB在面ACD外时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，为sin（）=sin=；当CD与α平行
且AB在面ACD内时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，为sin（）=sincos=．∴平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值
范围是[，]．故选：A．【答案】AC【解析】作出确定的可行域，设，则，当时，；当时，．10.【答案】ACD【考点】3H：函数的最值
及其几何意义．【分析】结合二次函数的图象可知，当f（x）在区间[a﹣1，a+1]单调时，|f（x）﹣f（a）|的最大值为|f（a+
1）﹣f（a）|或|f（a﹣1）﹣f（a）|，从而得出结论．【解答】解：∵|x﹣a|≤1，∴a﹣1≤x≤a+1，∵f（x）是二次函
数，∴f（x）在区间[a﹣1，a+1]上单调时，|f（x）﹣f（a）|取得最大值为|f（a+1）﹣f（a）|或|f（a﹣1）﹣f（
a）|，而|f（a+1）﹣f（a）|=|（a+1）2+3（a+1）﹣a2﹣3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，|f（a﹣1）﹣f
（a）|=|（a﹣1）2+3（a﹣1）﹣a2﹣3a|=|﹣2a﹣2|=|2a+2|≤2|a|+2．∴|f（x）﹣f（a）|≤2|a
|+4，故选ACD．11.【答案】AB12.【答案】BCD13.【答案】14.【答案】10【解析】由题意得．15.【答案】-2【解
析】由得，即交点为，它在椭圆上，于是有，化简后得．16．【答案】5【解析】设分别是的中点，则，，又，∴．17.解：（Ⅰ）由及正弦定
理，得，即，故∵，∴，∴又，∴；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，故，而，是的最大内角，故，∴即…12分18.证明：（1）因为、分别为、的中点，所以，又因为底面是矩形，所以．所以，又平面，平面
，所以平面．（2）因为，为的中点，所以．因为平面平面，又平面平面=，，平面，所以平面，又平面，所以．因为、平面，，∴平面．19.解
：（1）∵，∴，化为：，．解得．（2），即，∴，同理可得：．∵，，成等差数列，∴，记，则，∵，，解得．即，∴，记，为奇函数，由公差
大于，∴．∴，即，当时，取得最大值为．20.解：（1）、可能的取值为、、，，，，且当或时，．因此，最大值为（6分）（2）有放回抽两
张卡片的所有情况有种，（12分）21.解：（1）由题意，，由焦点，且经过，由，即，则，，∴椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为．①
若时，，，∴．②若时，，，的中点为，，整理得：，∴，则，则．则的垂直平分线方程为，由，则点为的垂直平分线与轴的交点，∴，∴，由椭圆
的左准线的方程为，离心率为，由，得，同理，∴，∴则综上，得的值为．22.（1）证明：时，，故，即，，故在递增；（2）解：∵，∴，①
时，，函数在递增，若，则，若，则，故函数在递增，在递减，故在处取极小值，符合题意；②时，，在递减，若，则，若，则，故在递减，在递增
，故在处取极大值，不合题意；③时，存在，使得，即，但当时，，即，在递减，故，即在递减，不合题意，综上，的范围是；（3）解：记，①时
，，则，即，当时，，故存在，函数在递增；②时，时，，故存在，函数在递减；综上，函数在上广义单调．??学校班级学号姓名??..
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..........?......?..........................。。。。。。。。。。装订线内不要答题，装订线外不要写姓名、考号等，违者试卷作0分处理...................................?.......?.............?.......?.............?.......?.............?.........?......................................。。。。。。。。。。装订线内不要答题，装订线外不要写姓名、考号等，违者试卷作0分处理