祁州市第一中学2023年高考第一次模拟考试数学注意事项：1.试卷共9页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．1.已知集合，，则A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A.B.C.D.3.某几何体的三视图如
图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是A.2B.4C.6D.84.已知平面，直线，满足，，则“”是“”的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等差数列的前项和，公差，．记，，，下列等式不可能成立的是A.B
.C.D.6.若实数，满足约束条件，则的取值范围是A.B.C.D.7.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为
9组：，，…，，，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为A.10B.18C.20D.368.如图
，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，.分别记二面角，，的平面角为，则A.B.C.D.二、选择题：4小
题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的多项．9.已知，则下面说法正确的是A.B.C.D.10.
将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的有A.为
奇函数B.的最小正周期为4C.D.在区间上单调递增，且最小值为1
1.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，他是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被
柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6，···表示的是太阳系的第n
颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A.U.为单位）.现将数列的各项乘10后再减4，得到数列，可以发现数列从第三项起，每项是前一项的
2倍，则下列说法正确的是数列的通项公式为B.数列的第2021项为0.3×22020+0.4C.数列的前n项和D.数列的前n项和
12.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A.这11
天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过D.第9天至第
11天复产指数增量大于复工指数的增量三、填空题：4小题，每小题5分，共20分．13.在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若
中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．14.在平面直角坐标
系中，已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为________．15.已知，角，，的对边分别为，，
，且，则的值是16.已知函数，不等式对恒成立，则________．四、解答题：6小题，共70分．17.已知、、分别是的三个内角、、
的对边，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．18.《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传
统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测
试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上
述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（Ⅱ）已知
第1组市民中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性群众的概率．如图，在几何体ABC
DQP中，，，，．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．20.已知数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，
对于任意的正整数n，恒成立，求实数λ的取值范围．21.在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆
C的“类准线”方程为，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，
过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．22.已知函数，其中，e为自然对数的底数．（1）关于x的不
等式在上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．祁州市第一中学2023年高考第一次模拟考试数学答案解析1.【答
案】D【解析】，故选：D.【考点】集合交集概念【考查能力】分析求解2.【答案】B【解析】由题意得，.故选：B.【考点】复数几何意义
，复数乘法法则【考查能力】基本分析求解3.【答案】C【解析】由三视图知，该几何体为直四棱柱，且侧棱长为2，上下底面为上边为1，下边
为2，高为2的直角梯形.故【考点】空间几何体的三视图4.【答案】A【解析】如图，作SO垂直于平面ABCD，垂足为O，取AB的中点M
，连接SM，则，而，且,故，根据线面所成角定义可推得，线面所成角是鞋面与平面内直线所成角中最小的角，所以选D.5.【答案】D【解析
】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，，，，．，．根据等差数列的下
标和性质，由，可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，即；当时，，即，所以，D不正确．故选：D.【考点】等差
数列的性质应用6.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上
的截距最大，取得最小值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，联立直线方
程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大值故目标函数的取值范围是.故选：B.7.【答案】B【解析】
根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件
的个数为：.故选：B.【考点】频率分布直方图的计算与实际应用8.【答案】B【解析】如图1,设是点在底面的射影,过作，，,垂足分别为
、、,连接、、,易得,∴就是二面角的平面角,∴,,同理,.底面的平面图如图2所示,以为原点建立平面直角坐标系,不妨设,则,,,,∵
,,∴,,则直线的方程为,直线的方程为,直线的方程为,根据点到直线的距离公式,知,,,∴,∴,又，，为锐角,∴，故选B.【答案】A
CD【答案】ABC【答案】CD【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的
差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天
到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差
大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第3天至第11天复工复
产指数均超过，故C正确．由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；【考点】折线图表示的函数的认知与理解【
答案】32【答案】．15.【答案】16.【答案】．【解析】解：，可知，进而，由于得，∴．17.解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵，∴，∴；
（Ⅱ）设，∵，边上的中线的长为，∴，∴，∴，∴的面积．18．解：（Ⅰ）设第1组的频率为，则由题意可知：，被采访任恰好在第1组或第4
组的频率为，∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25．（Ⅱ）第1组的人数为，∴第1组中共有6名市民，其中女性市民共3名，
即第1组中的3名男性市民分别为，，，3名女性市民分别为，，，从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，列举如下：，
，，，，，，，，，，，，，，至少有1名女性，，，，，，，，，，，，共12个基本事件，∴从第1组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少
有1名女性的概率为．19.证明：（1）取AB中点E，连结PE，∵，，，设．∴，，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．解：（2）以A为原
点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面BPC的法向量，则，取，得，平面ABP的法向量，设二
面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，则，∴．∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为．20.解：（1）由题意得，当时，，则，当时，，则，两式相减得
，，即，当时，也符合上式，则；（2）由（1）得，，所以，则n越大，越小，越大，即当时，最小为，因为对于任意的正整数n，恒成立，所以
，解得，故实数λ的取值范围是．21.解：（1）由题意得：，，又，联立以上可得：，，．∴椭圆C的方程为；（2）如图，由（1）可知，椭
圆的类准线方程为，不妨取，设，则，∴过原点且与OP垂直的直线方程为，当时，过P点的圆的切线方程为，过原点且与OP垂直的直线方程为，
联立，解得：，代入椭圆方程成立；同理可得，当时，点A在椭圆上；当时，联立，解得，，PA1所在直线方程为．此时原点O到该直线的距离，
∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．22.解：（1）由，得，即对任意恒成立，即对任
意恒成立，因为，所以，记，因为g（x）在上单调递增，且，所以，即a的取值范围为；（2）由题意，可得，可知f（x）只有一个极值点或有
三个极值点．令，①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图像必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极
值同号．（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，在上恒成立，得．（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则，由有解，得，且，，
所以，，所以=，同理，，所以，化简得，所以，即，所以．所以，当时，f（x）有且仅有一个极值点；②若f（x）有三个极值点，则函数g（
x）的图像必穿过x轴且穿过三次，同理可得．综上，当时，f（x）有且仅有一个极值点，当时，f（x）有三个极值点．??学校班级学号
姓名??....................?.......?...............................
...?.........?...............................?........?..........
.................?......?..........................。。。。。。。。。。装订线内不要答题，装订线外不要写姓名、考号等，违者试卷作0分处理...................................?.......?.............?.......?.............?.......?.............?.........?......................................。。。。。。。。。。装订线内不要答题，装订线外不要写姓名、考号等，违者试卷作0分处理 |
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