圆梦高考助力未来2022年高考学业质量模拟监测数学(试题卷)注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在
答题卡上.2．第I卷（选择题）选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答
在试卷上.3.第II卷（非选择题）请用0.5毫米黑色签字笔在相应位置处答题，如需改动，用“\”划掉重新答题.一、单项选择题：本大
题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.空集
B.C.D.2.已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.已知函数，
设，则（）A．2B．C．D．4.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则＝（）A.B.
C.D.5.中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，
以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“
四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到
的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A．B．C．D．6.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为6，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．7．如图，直线依次与曲线、及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段的中
点，则（）A．B．C．D．8.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（）A
．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部
分选对的得2分，有选错的得0分.9.正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截
正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等10．已知函数的图象关于直线对称，则（）A．B．若，则的最小值为C．将图象向左
平移个单位得到的图象D．若函数在单调递增，则的最大值为11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点
，，下列判断正确的是（）A．B．C．的离心率等于D．的渐近线方程为12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在
两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，
每小题5分，满分20分．13．求展开式中的系数为_______．14．已知，则_______．15．设点是曲线上任一点，则点到直线
的最小距离为__________．16．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比
数列”．若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为__________．四、解答
题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)在条件①，②，③中任选一个，补充到
下面问题中，并给出问题解答．在中，角，，的对边分别为，，，，，________．求的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个
解答计分）18.（本小题满分12分）已知等比数列是递增数列，满足，．（1）求的通项公式；（2）设，若为数列的前项积，证明：．19.
(本小题满分12分)已知四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，．（1）求证：；（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值是，求的值．
20．(本小题满分12分)某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植
新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封．现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：)，将测量结果按，
，，，分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数(不含残次品，同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度服从正态分布，其中的近似值为豌豆豆荚长度的平均数，，试估计采摘的100袋
新品种豌豆豆荚中，长度位于区间内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一
袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为，求的概率和的数学期望．附：，若随机变量，则，．21．(本小题满分12分)已知椭圆的一个顶
点为，右焦点为，且，其中为原点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且
为线段的中点，求直线的方程．22．(本小题满分12分)已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．圆梦高考助力
未来2022年高考学业质量模拟监测数学参考答案与评分标准D2.B3.A4.C5.A6.B7.B
8.B8.【解析】当时，，，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，，，又，函数关于对称，且是偶函数，所以，所以，所
以函数周期，关于的不等式在上有且只有150个整数解，即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：.故选
：B.B【详解】由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大,由于此函数
是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错,由于由A到B的变化率要小于由
B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选BBC10.A
BD11.BCD【解析】，即为中点，为中点，，，，，，A错误，B正确；由知：，又，，，即，，解得，C正确；，，，，的渐近线方
程为，D正确．故选BCD．ABC13．；14.；15．；16．．15．【解析】由题意，过点作曲线的切线,则,设点,则
,当切线与直线平行时点到该直线距离最小,则,即,所以点为,则点到直线的最小距离为,故答案为．16．【解析】法一：由题意可知，，且，
故．法二：，故．17．解：若选①：，即，从而，……………………………………………………………………2分，又，.…………………
………………………………………………5分又，且，，，……………………………………………………8分．………………………………
……………10分若选②：，化简得，…………………2分即，又，．………………………………………………………………5分又，且，，
，，…………………………8分．………………………………10分若选③：，，，………………………………………………2分，，，，，
，．……………………………………………………5分又，且，，，……………………………………………………8分．……………………
………………………10分18.【解答】解；（1）设等比数列的公比为，由，得．解得或（舍去）．所以．（2）证明：由，得，当时，①，②
，由①②得，当时，满足上式，故，．19．法一：（1）证明：平面，平面，．……………1分因为为菱形，所以，……………2分又因为，所
以平面，………3分T因为平面，平面平面．……4分（2）解：过作交于，连接，…5分平面，，，，，所以是的平面角．………………………
…………………………7分又，且，从而，…………………………………………9分，………………………………………11分．………………
…………………………………………………………………12分Qxyz法二：（1）证明：过作，平面，平面因为为菱形，所以，以为轴建立空间
直角坐标系，，………………………………………………………………3分（2）解：设平面的法向量为，，且，，．……………………………
…5分设平面的法向量为，因为平面即为平面，．…………………………………………6分，平面平面．……………………………………………
……7分（2）平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，．……………9分设二面角的平面角为，则，可得，，…………………………
………………10分，．………………………………………12分20．解：（1）由频率分布直方图可得，解得．……1分估计新品种豌豆豆荚
长度的平均数．……………3分（2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11，则，又，所以，．…………………………………
……4分所以…………………6分所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间内的豆荚个数为(个)．……………………………………………
…7分（3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过的频率为，所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚，再从中随机抽取一个豆荚，这个豆荚为
特等豆荚的概率为．…………………………………………………8分依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，…，20，且．……………
9分所以；……………………………………………11分的数学期望．………………………………………………………12分21．解：（1
）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以椭圆的方程为；…………………………………………………………3分（2）直线与以为圆心
的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，……………4分由，消去，可得，解得或
．…………………………………………………………………6分将代入，得，所以，点的坐标为，………………………………………………7分
因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，…………………………………………………8分由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，
…………………………9分又因为，所以，………………………………………10分整理得，解得或．………………………………………
11分所以，直线的方程为或．……………………………………12分22．解：（1）当时，，．…………………1分故当)时，；当时，
．……………………2分所以在单调递减，在单调递增．……………………………………3分（2）等价于．设函数，………………………
……………………4分则．……………………………………………………6分①若，即，则当时，．所以在(0，2)单调递增，而，故当)时，
，不符合题意．……………………………………………7分②若，即，则当时，；当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．由于，所以
当且仅当，即．所以当时，．……………………………………………………9分③若，即，则．由于，故由②可得．故当时，．………………
………………………………………………11分综上，的取值范围是．…………………………………………………12分（2）法二：由，得．当时，得，显然成立．………………………………………………………4分当时，等价于，令，……………………………………………………5分则…………7分令，则，………………………………………………8分令，则，从而在上单调递减，故，从而在上单调递减，故，即当时，有恒成立，………………………………………10分故在上单调递增，在上单调递减．，故，综上，的取值范围是．…………………………………………………12分圆梦高考助力未来2022年高考学业质量模拟监测·数学(试题卷)第4页（共6页） |
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