平面几何的几个著名问题
八十后
四、蝴蝶定理
定理：已知M是弦AB的中点，弦XY和RS经过M，XS、YR分别交AB于K、J，
求证JM＝，连结K，S．
∵α（＋）（＋）∠S
∴M、、S、K四点共圆（外角等于内对角）．
∴∠4＝＝＝＝
∴△MYJ≌△MK，∴JM=KM．证毕．
注：α（＋）是圆内角的一个性质，如图，连结BX，由外角定理即得．
【基础知识】圆
1.定理⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：
(1)d＞l(直线和⊙O相离；
(2)d＝(直线和⊙O相切；
(3)d＜l(直线和⊙O相交．
逆定理⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：
(1)直线和⊙O相离(d＞l；
(2)直线和⊙O相切(d＝(d＜l．
2.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3.切线的性质定理：
(1)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
(3)圆的切线垂直于经过切点半径．
4.切线长定理从外一点引圆的两条切线，它们的长相等．
推论连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．
5.定理三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形各边的距离相等．
6.定理圆的外切四边形的两组对边的和相等．
7.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
8.相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点，各弦被这点内分(分点在线段内)成的两线段长的
乘积相等．
9.切割线定理圆的弦延长相交于圆外的一点，各弦被这点外分(分点在线段的延长线上)
成的两线段长的乘积相等，并且等于这点到圆的切线长的平方．
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