苏科版八年级上期中易错题复习1.如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE=
AB，∠CAD=45°．(1)求证：DF⊥AB；(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠A
CB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：a2+b2=c2．2.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由
四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”
，则这个风车的外围周长是_______.3.代数式的最小值是．4.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，
P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________．5.在△ABC中，AB=
13，AC=15，高AD=12，则BC的长为()A.14B.4C.14或4D.以上都不对6.已知△ABC为等
腰三角形，由A点作BC边的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数为（）A.75°B.90°C.75°或90°D
.15°或75°或90°7.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，过点B作BE⊥
AD，交AD的延长线于点E，交AC的延长线于点F.有下列结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤EF
:AD=1:2.其中正确结论的序号是___________.8.在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC，求证：∠A=90
°．9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，
则CF的长为__________．10.11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点
A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-C-B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），苏州学慧家教网（http://suzhou-ji
ajiao.com/）（1）在AC上是否存在点P使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（2）若点P恰好在△ABC
的角平分线上，请直接写出t的值．12.如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E
在AB上，点D在AC上．（1）若F是BD的中点，求证：CF=EF；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AE恰好在AC上（如
图2）．若F为BD上一点，且CF=EF，求证：BF=DF；苏州学慧家教网（http://suzhou-jiajiao.com/）（
3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F是BD的中点．探究CE与EF的数量关系，并证明你的结论．13.
如图,点P,Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB,BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s
．(1)连接AQ,CP交于点M,则在P,Q运动的过程中,∠CMQ变化吗？若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;(2)请求出何
时△PBQ是直角三角形？14.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,延长AD到点E,使得ED=AD,连接BE若AB=5,A
C=3.AD=2则△ABC的面积____________15.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且O
D⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为
______度．苏州学慧家教网（http://suzhou-jiajiao.com/）16.一个直角三角形三边的长a
、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则这个直角三角形的面积为______．参考答案1.-------------
-------------------------------------------------------------(1)解
：∵△ABC≌△DEC，∴∠BAC=∠EDC，∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，∴∠AEF+∠BAC=90°，∴
∠AFE=90°，∴DF⊥AB(2)解：∵S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE，∴?a2+?b2=??c
?DF﹣??c?EF=??c?（DF﹣EF）=??c?DE=?c2，∴a2+b2=c2【分析】（1）利用：“8
字型”证明∠AFE=∠ECD=90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．2.--
-----------------------------------------------------------------
-------答案：76.解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12，根据勾股定理可得“数学风车
”中的四个大直角三角形的斜边长为：=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4＝76.本题主要考查了勾股定理的应用.勾股定理
的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解
，这个定理在几何的计算问题中是经常用到的，尤其是线段的长度，请同学们熟记并且能熟练地运用它.1、观察图形，回忆直角三角形的勾股定理
；2、由题意知∠ACB为直角，又由AC延伸一倍，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两直角边长分别为5和12；3、根据勾股定理，
求出“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长，进而求出“数学风车”的外围周长.3.----------------------
----------------------------------------------------解：求代数式的最小值．可以
转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接
BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，因为PA+PB的最小值=BA′===13．所以代数式的最小值为13．求代数式的最小值
．可以转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．如图，作点A关于x轴的对称点A′
，连接BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，利用勾股定理即可解决问题．4.----------------------
----------------------------------------------------第1空：B【解答】解：∵∠
ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以A
B为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，
此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．5.-------------------------------------
-------------------------------------答案：C.解：根据题意画出图形，①当△ABC是锐角三角形
时，高AD将△ABC分为两个直角三角形，即△ABD、△ACD.∵△ABD是直角三角形∴∵AB=13，AD=12∴∵△AC
D是直角三角形∴∵AC=15，AD=12∴∵BC=BD+CD，BD=5，CD=9∴BC=14②当△ABC是钝角三角形时，
高AD在△ABC外，且△ABD、△ACD是直角三角形.由①可知，BD=5，CD=9∵BC=CD-BD，BD=5，CD=9∴BC
=4故BC的长为14或4.故选C．1、分析题意，由于△ABC的形状未知，故需要对其形状进行讨论；2、△ABC可能是锐角三角形、钝角
三角形，锐角三角形的高线在三角形内，钝角三角形的高线在三角形外，你有思路吗？3、根据题意画出图形，当△ABC是锐角三角形时，BC=
BD+CD，当△ABC是钝角三角形时，BC=CD-BD，结合“直角三角形勾股定理求值”，分别求解出两种情况下BD、CD的长，问题就
迎刃而解了.6.-------------------------------------------------------
-------------------【解答】解：如下图，分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，由题意知，AD
=BC=AB，∵sin∠B==，∴∠B=30°，∠C==75°，∴∠BAC=∠C=75°；②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的
外部，由题意知，AD=BC=AC，∵sin∠ACD==，∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，∵∠B=∠CAB，∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为BC的中点，由
题意知，AD=BC=CD=BD，∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°，∴∠BA
C的度数为90°或75°或15°，故选D．【分析】本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三
角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边三种情况．7.------------------------------------
--------------------------------------答案：①②③⑤解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，∴
∠CAB=∠ABC=45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAF=22.5°，∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F
=90°，∠FBC+∠F=90°，∴∠EAF=∠FBC，∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，∴Rt△ADC≌Rt
△BFC，∴AD=BF；故①正确；②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF=CD，故②正确；③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，∵∠CBF=∠EAF=22.5°，∴在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5
°，∵∠CAB=45°，∴∠ABF=180°﹣∠F﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴AF=AB，即AC+CD
=AB，故③正确；④由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BE=BF，∵在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30
°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF，故④错误；⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BF=2EF，由①
知AD=BF，∴AD=2EF，即EF：AD=1：2，故⑤正确．∴①②③⑤四项正确.【解题方法提示】①根据BC=AC，∠ACB=90
°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF
+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，进而求解；②运用
①中Rt△ADC≌Rt△BFC即可直接判断；③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，
∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°
﹣∠EAF﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，进而判断即可；④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=B
F，在Rt△BCF中，假设BE=CF，进而可得求出∠CBF的度数，进而判断即可；⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD
，根据等腰三角形三线合一的性质以及①中的结论即可解答．8.----------------------------------
----------------------------------------证明：如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，过点
D作DE⊥BC于E，∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BCD=∠ACB，∴BD=CD，∴BE=CE=BC，∵BC=2AC，∴AC=CE
，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=90°．作出图形，作∠ACB的平分线CD交AB于D，
过点D作DE⊥BC于E，求出∠B=∠BCD，再根据等角对等边可得BD=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=CE，再求出
AC=CE，然后利用“边角边”证明△ACD和△ECD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠CED=90°．9.------
-----------------------------------------------------------------
---第1空：【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则B
F=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故答案为：．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出B
H，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．10.----------------------
----------------------------------------------------11.---------
-----------------------------------------------------------------
解：（1）如图1，设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4-2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，即：
（4-2t）2+32=（2t）2，解得：t=，∴当t=时，PA=PB；（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，此
时t=2或t=3.5秒；当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，此时AP=2t，PC=PM=4-2t，∵△AP
M∽△ABC，∴AP：AB=PM：BC，即：2t：5=（4-2t）：3，解得：t=；当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如
图3，此时BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），∵△BPN∽△BAC，∴BP：BA=PN：AC，即：（7-2t）：5=（2t-
4）：4，解得：t=，综上，当t=2、3.5、、秒时，点P在△ABC的角平分线上．http://suzhou-jiajiao.co
m/（1）根据角平分线的性质得到PA=PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）当点P在顶点处
时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t
值即可．12.---------------------------------------------------------
-----------------（1）证明：如图1，连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，∴EF=DF=BF，∠FE
B=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，∴CF=EF，∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DF
C=2∠FBC，∴∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴CF=EF；∴线段
CE与FE之间的数量关系是CE=FE；（2）（1）中的结论仍然成立．如图2，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB=∠AED=
90°，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=A
E，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90°，CF=EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∴CE=FE；（3
）（1）中的结论仍然成立．如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF=BF，∴FM∥AB
，且FM=?AB，∵AE=DE，∠AED=90°，∴AM=EM，∠AME=90°，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴CN=AN=A
B，∠ANC=90°，∴MF∥AN，FM=AN=CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，∴∠E
MF=∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，∴∠
FCN+∠PFC=90°，∴∠EFM+∠PFC=90°，∴∠EFC=90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∴CE
=FE．（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=B
F，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠E
FD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（2）通过证明△EFC是等腰直角三角形
来求解．先证△EFC是等腰三角形，证明△DEF和△FGB全等．再说明△CFE是个直角三角形，因此就能得出结论了；（3）通过证明△C
FE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得
出EM=PNAD，EC=MF=AB，得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠
CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出
的结论与（1）也相同．13.--------------------------------------------------
------------------------解：(1)不变,∠CMQ=60°．∵△ABC是等边三角形,∴等边三角形中,AB=A
C,∠B=∠CAP=60°又∵点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s．∴AP=BQ,∴△ABQ≌△CAP(
SAS),∴∠BAQ=∠ACP,∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°;(2)设时间为t秒,则AP=
BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,∴PB=2BQ,即4-t=2t,t=,当∠BPQ=90
°时,∵∠B=60°,∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t=,∴当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形．(1)先根据全等三角
形的判定定理得出△ABQ≌△CAP,由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP,故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=
∠BAC=60°,故可得出结论;(2)设时间为t秒,则AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,因为∠B=6
0°,所以PB=2BQ,即4-t=2t故可得出t的值,当∠BPQ=90°时,同理可得BQ=2BP,即t=2(4-t),由此两种情况
即可得出结论．14.------------------------------------------------------
--------------------615.----------------------------------------
----------------------------------解析解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠
BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°
-54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC-∠
ABO=63°-27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵
将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE
中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．故答案为：108．连接OB、OC，根据角平
分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据
等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对
等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．答案10816.--------------------------------------------------------------------------解析根据a＜b＜c，a+c=49和a2+b2=c2讨论a、b、c的值，计算符合题意的a、b、c的值，并求出三角形的面积．答案解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c，∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49-a，故b2=492-98a=49（49-2a），其中a＜b＜c，∴a＜24，b=，由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29，∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意，这个直角三角形的面积为×12×35=210或×20×21=210．故答案为210．点评本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中求出符合题意的a、b、c的值是解题的关键．苏州学慧家教网http://suzhou-jiajiao.com/苏州学慧家教网（http://suzhou-jiajiao.com/）1 |
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