李善兰之2至10“普通对数”形成说(8)
112XiāoXiāngGuǎn112
何世强HoSaiKeung
提要：清?李善兰着《则古昔斋算十三种》，第三种为〈对数探源〉，其中亦提及尖锥形及对数，本文主要谈及由无穷级数法算出之普通对数，其法是先算某数之自然对数再乘以一常数。
关键词：无穷级数自然对数普通对数
第1节李善兰之普通对数2算法
本文取自李善兰（1810年－1882年）之《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞之第三种〈对数探源?卷二〉。
笔者已有文名为〈李善兰《十三种》之尖锥说与对数(1)〉、〈李善兰《十三种》之尖锥全积与残积说(2)〉、〈李善兰《十三种》之尖锥比例四率截积说(3)〉、〈李善兰《十三种》之尖锥比例五率截积说(4)〉、〈李善兰之尖锥与收敛级数公式证明法(5)〉、〈李善兰之以无穷级数表一自然对数法(6)〉及〈李善兰1至10自然对数之无穷级算法(7)〉，本文乃以上七文之延续及补充。
李善兰之〈对数探源?卷二〉涉及自然对数及普通对数，该章先谈及自然对数后普通对数。近世高等数学微积分课程涉及对数者有如下之重要公式：
logau=，ln是为自然对数。若a为10，则log10u是为u之普通对数，a为10之底可以略去，只写成logu。
今先求ln10。设曲线之方程式为y=﹝见笔者前文﹞，
今设a=1，x1=，则aln=ln=ln10。
=
=[1++()2+()3+()4……]dx﹝依无限尖锥形展开﹞
=x++++……﹝依逐项积分﹞
=x++++……﹝取a=1﹞
=+()2+()3+()4+()5……﹝以x=x1=代入﹞。
所以，ln10=+()2+()3+()4+()5+?+()n+?
=2.302585093。
所以=0.434294481。此乃常数，即logau=0.434294481lnu，从〈对数探源?卷二〉可知，李善兰已算出此常数，并以此常数计算普通对数。
ln2=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=0.69314718。
所以log2=0.434294481×0.69314718=0.301029995。
例如求log2，李善兰之法乃以常数logau乘以ln2每一项，再求其和。其实不必先乘每一项才相加，可相加后才乘以常数，如以上之算法。
下表之常数指=0.434294481。以下为李善兰计算log2之法﹝但非〈对数探源?卷二〉之法﹞：
(1)公比 (2)(公比)n 项数 (3)=(2)÷项数 (4)=(3)×常数 累加 0.5 0.5 1 0.5 0.217147241 0.217147241 0.5 0.25 2 0.125 0.054286810 0.271434051 0.5 0.125 3 0.041666667 0.018095603 0.289529654 0.5 0.0625 4 0.015625 0.006785851 0.296315505 0.5 0.03125 5 0.00625 0.002714341 0.299029846 0.5 0.015625 6 0.002604167 0.001130975 0.300160821 0.5 0.0078125 7 0.001116071 0.000484704 0.300645525 0.5 0.00390625 8 0.000488281 0.000212058 0.300857582 0.5 0.001953125 9 0.000217014 9.42479E-05 0.300951830 0.5 0.000976563 10 9.76563E-05 4.24116E-05 0.300994242 0.5 0.000488281 11 4.43892E-05 1.9278E-05 0.301013520 0.5 0.000244141 12 2.03451E-05 8.83574E-06 0.301022356 0.5 0.00012207 13 9.39002E-06 4.07804E-06 0.301026434 0.5 6.10352E-05 14 4.35965E-06 1.89337E-06 0.301028327 0.5 3.05176E-05 15 2.03451E-06 8.83574E-07 0.301029211 0.5 1.52588E-05 16 9.53674E-07 4.14175E-07 0.301029625 0.5 7.62939E-06 17 4.48788E-07 1.94906E-07 0.301029820 0.5 3.8147E-06 18 2.11928E-07 9.2039E-08 0.301029912 0.5 1.90735E-06 19 1.00387E-07 4.35974E-08 0.301029955 0.5 9.53674E-07 20 4.76837E-08 2.07088E-08 0.301029976 总计 0.693147137 0.301029976 --- 上表之9.76563E-05表示共有5个0﹝小数点前后﹞，即0.0000976563。其余可类推。
以下为〈对数探源?卷二〉求ln2之算法：
(1) 长方积数x(2) (3)=(2)÷(1) (4) (5)=2.5百万加(3)之下列得(4)，(4)÷2 20 100000000 5000000 --- 2500000 19 100000000 5263157.895 7763157.895 3881578 18 100000000 5555555.556 9437134.503 4718567 17 100000000 5882352.941 10600920.19 5300460 16 100000000 6250000 11550460.1 5775230 15 100000000 6666666.667 12441896.71 6220948 14 100000000 7142857.143 13363805.5 6681902 13 100000000 7692307.692 14374209 7187104 12 100000000 8333333.333 15520437 7760218 11 100000000 9090909.091 16851127 8425563 10 100000000 10000000 18425563 9212781 9 100000000 11111111.11 20323892 10161946 8 100000000 12500000 22661946 11330973 7 100000000 14285714.29 25616687 12808343 6 100000000 16666666.67 29475009 14737504 5 100000000 20000000 34737504 17368752 4 100000000 25000000 42368752 21184376 3 100000000 33333333.33 54517709 27258854 2 100000000 50000000 77258854 38629427 1 100000000 100000000 138629427 69314713 下表为〈对数探源?卷二〉求log2之详细算法：
(1)逆序 (2)长方积数 (3)=(2)÷逆序 (4)=(5)+(3)之下列 (5)=(4)÷2 (6)=(5)×常数 20 100000000 5000000 --- 2500000 1085736 19 100000000 5263157 7763157 3881578.5 1685748 18 100000000 5555555 9437134.5 4718566.75 2049247 17 100000000 5882352 10600920.19 5300459.38 2301960 16 100000000 6250000 11550460.1 5775229.69 2508150 15 100000000 6666666 12441896.71 6220947.84 2701723 14 100000000 7142857 13363805.5 6681902.42 2901913 13 100000000 7692307 14374209 7187104.71 3121320 12 100000000 8333333 15520437 7760218.86 3370220 11 100000000 9090909 16851127 8425563.93 3659175 10 100000000 10000000 18425563 9212781.96 4001060 9 100000000 11111111 20323892 10161946.5 4413277 8 100000000 12500000 22661946 11330973.2 4920979 7 100000000 14285714 25616687 12808343.6 5562593 6 100000000 16666666 29475009 14737504.8 6400417 5 100000000 20000000 34737504 17368752.4 7543153 4 100000000 25000000 42368752 21184376.2 9200257 3 100000000 33333333 54517709 27258854.6 11838370 2 100000000 50000000 77258854 38629427.3 16776547 1 100000000 100000000 138629427 69314713.7 3010300 注意第(6)栏之数字与原文之配合。
第2节李善兰之普通对数3-10算法
以下各数只取其前二十项之和，故只属近似值，数字越大，收敛越慢，所需之项数越多。
﹝二﹞
ln3=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=1.098612289。
log3=0.434294481×1.098612289=0.477121253。
ln3之前20项和为1.098585887，又log3之前20项和为0.477109787。〈对数探源?卷二〉不用以下之法。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.666666667 1 0.666666667 0.666666667 0.289529654 0.289529654 0.666666667 2 0.444444444 0.222222222 0.096509885 0.386039539 0.666666667 3 0.296296297 0.098765432 0.042893282 0.428932821 0.666666667 4 0.197530865 0.049382716 0.021446641 0.450379462 0.666666667 5 0.131687243 0.026337449 0.011438209 0.461817671 0.666666667 6 0.087791495 0.014631916 0.006354560 0.468172231 0.666666667 7 0.058527664 0.008361095 0.003631177 0.471803408 0.666666667 8 0.039018442 0.004877305 0.002118187 0.473921595 0.666666667 9 0.026012295 0.002890255 0.001255222 0.475176817 0.666666667 10 0.01734153 0.001734153 0.000753133 0.47592995 0.666666667 11 0.01156102 0.001051002 0.000456444 0.476386394 0.666666667 12 0.007707347 0.000642279 0.000278938 0.476665332 0.666666667 13 0.005138231 0.000395249 0.000171654 0.476836987 0.666666667 14 0.003425487 0.000244678 0.000106262 0.476943249 0.666666667 15 0.002283658 0.000152244 6.61187E-05 0.477009368 0.666666667 16 0.001522439 9.51524E-05 4.13242E-05 0.477050692 0.666666667 17 0.001014959 5.97035E-05 2.59289E-05 0.477076621 0.666666667 18 0.000676639 3.75911E-05 1.63256E-05 0.477092946 0.666666667 19 0.000451093 2.37417E-05 1.03109E-05 0.477103257 0.666666667 20 0.000300729 1.50364E-05 6.53024E-06 0.477109787 总计 1.098585887 0.477109787 --- ﹝三﹞
ln4=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=1.386294361。
ln4之前20项和为1.385891159，又log4之前20项和为0.601884881。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.75 1 0.75 0.75 0.325720861 0.325720861 0.75 2 0.5625 0.28125 0.122145323 0.447866184 0.75 3 0.421875 0.140625 0.061072661 0.508938845 0.75 4 0.31640625 0.079101563 0.034353372 0.543292217 0.75 5 0.237304688 0.047460938 0.020612023 0.56390424 0.75 6 0.177978516 0.029663086 0.012882515 0.576786755 0.75 7 0.133483887 0.019069127 0.008281616 0.585068371 0.75 8 0.100112915 0.012514114 0.005434811 0.590503182 0.75 9 0.075084686 0.008342743 0.003623207 0.594126389 0.75 10 0.056313515 0.005631351 0.002445665 0.596572054 0.75 11 0.042235136 0.003839558 0.001667499 0.598239553 0.75 12 0.031676352 0.002639696 0.001146405 0.599385958 0.75 13 0.023757264 0.001827482 0.000793665 0.600179623 0.75 14 0.017817948 0.001272711 0.000552731 0.600732355 0.75 15 0.013363461 0.000890897 0.000386912 0.601119266 0.75 16 0.010022596 0.000626412 0.000272047 0.601391314 0.75 17 0.007516947 0.000442173 0.000192033 0.601583347 0.75 18 0.00563771 0.000313206 0.000136024 0.601719371 0.75 19 0.004228283 0.000222541 9.66484E-05 0.601816019 0.75 20 0.003171212 0.000158561 6.8862E-05 0.601884881 总计 1.385891159 0.601884881 --- ﹝四﹞
ln5=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=1.609437912。
ln5之前20项和为1.607545867，又log5之前20项和为0.698148298。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.8 1 0.8 0.8 0.347435585 0.347435585 0.8 2 0.64 0.32 0.138974234 0.486409819 0.8 3 0.512 0.170666667 0.074119591 0.56052941 0.8 4 0.4096 0.1024 0.044471755 0.605001165 0.8 5 0.32768 0.065536 0.028461923 0.633463088 0.8 6 0.262144 0.043690667 0.018974615 0.652437704 0.8 7 0.2097152 0.029959314 0.013011165 0.665448868 0.8 8 0.167772160 0.020971520 0.009107815 0.674556684 0.8 9 0.134217728 0.014913081 0.006476669 0.681033352 0.8 10 0.107374182 0.010737418 0.004663201 0.685696554 0.8 11 0.085899346 0.007809031 0.003391419 0.689087973 0.8 12 0.068719477 0.005726623 0.002487041 0.691575014 0.8 13 0.054975581 0.004228891 0.001836584 0.693411598 0.8 14 0.043980465 0.003141462 0.001364320 0.694775917 0.8 15 0.035184372 0.002345625 0.001018692 0.695794609 0.8 16 0.028147498 0.001759219 0.000764019 0.696558628 0.8 17 0.022517998 0.001324588 0.000575261 0.697133890 0.8 18 0.018014399 0.001000800 0.000434642 0.697568532 0.8 19 0.014411519 0.000758501 0.000329413 0.697897944 0.8 20 0.011529215 0.000576461 0.000250354 0.698148298 总计 1.607545867 0.698148298 --- ﹝五﹞
ln6=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=1.791759469。
ln6之前20项和为1.786568099，又log6之前20项和为0.775896665。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.833333333 1 0.833333333 0.833333333 0.361912067 0.361912067 0.833333333 2 0.694444444 0.347222222 0.150796695 0.512708762 0.833333333 3 0.578703703 0.192901234 0.083775941 0.596484703 0.833333333 4 0.482253086 0.120563271 0.052359963 0.648844667 0.833333333 5 0.401877571 0.080375514 0.034906642 0.683751309 0.833333333 6 0.334897976 0.055816329 0.024240724 0.707992033 0.833333333 7 0.279081646 0.039868807 0.017314803 0.725306836 0.833333333 8 0.232568039 0.029071005 0.012625377 0.737932213 0.833333333 9 0.193806699 0.021534078 0.009352131 0.747284344 0.833333333 10 0.161505582 0.016150558 0.007014098 0.754298442 0.833333333 11 0.134587985 0.012235271 0.005313711 0.759612153 0.833333333 12 0.112156654 0.009346388 0.004059085 0.763671237 0.833333333 13 0.093463879 0.007189529 0.003122373 0.76679361 0.833333333 14 0.077886565 0.005563326 0.002416122 0.769209732 0.833333333 15 0.064905471 0.004327031 0.001879206 0.771088938 0.833333333 16 0.054087893 0.003380493 0.00146813 0.772557067 0.833333333 17 0.045073244 0.002651367 0.001151474 0.773708542 0.833333333 18 0.037561036 0.002086724 0.000906253 0.774614794 0.833333333 19 0.031300864 0.001647414 0.000715463 0.775330257 0.833333333 20 0.026084053 0.001304203 0.000566408 0.775896665 总计 1.786568099 0.775896665 --- ﹝六﹞
ln7=+()2+()3+()4+()5+?+()n+?
=1.945910149。
ln7之前20项和为1.935272668，又log7之前20项和为0.840478239。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.857142857 1 0.857142857 0.857142857 0.372252412 0.372252412 0.857142857 2 0.734693877 0.367346939 0.159536748 0.53178916 0.857142857 3 0.629737609 0.209912536 0.091163856 0.622953016 0.857142857 4 0.539775093 0.134943773 0.058605336 0.681558352 0.857142857 5 0.462664366 0.092532873 0.040186516 0.721744868 0.857142857 6 0.396569456 0.066094909 0.028704654 0.750449523 0.857142857 7 0.339916677 0.048559525 0.021089134 0.771538657 0.857142857 8 0.291357151 0.036419644 0.015816850 0.787355507 0.857142857 9 0.249734701 0.027748300 0.012050934 0.799406441 0.857142857 10 0.214058315 0.021405832 0.009296434 0.808702875 0.857142857 11 0.183478556 0.016679869 0.007243975 0.815946850 0.857142857 12 0.157267334 0.013105611 0.005691695 0.821638545 0.857142857 13 0.134800572 0.010369275 0.004503319 0.826141863 0.857142857 14 0.115543347 0.008253096 0.003584274 0.829726138 0.857142857 15 0.099037155 0.006602477 0.002867419 0.832593557 0.857142857 16 0.084888990 0.005305562 0.002304176 0.834897733 0.857142857 17 0.072761991 0.004280117 0.001858831 0.836756564 0.857142857 18 0.062367421 0.003464857 0.001504768 0.838261332 0.857142857 19 0.053457789 0.002813568 0.001221917 0.839483249 0.857142857 20 0.045820962 0.002291048 0.000994990 0.840478239 总计 1.935272668 0.840478239 --- ﹝七﹞
ln8=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=2.079441542。
ln8之前20项和为2.061190973，又log8之前20项和为0.895163864。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.875 1 0.875 0.875 0.380007671 0.380007671 0.875 2 0.765625 0.3828125 0.166253356 0.546261027 0.875 3 0.669921875 0.223307292 0.096981124 0.643242151 0.875 4 0.586181641 0.14654541 0.063643863 0.706886014 0.875 5 0.512908936 0.102581787 0.044550704 0.751436718 0.875 6 0.448795319 0.07479922 0.032484888 0.783921606 0.875 7 0.392695904 0.056099415 0.024363666 0.808285273 0.875 8 0.343608916 0.042951114 0.018653432 0.826938705 0.875 9 0.300657801 0.033406422 0.014508225 0.841446929 0.875 10 0.263075576 0.026307558 0.011425227 0.852872157 0.875 11 0.230191129 0.020926466 0.009088249 0.861960405 0.875 12 0.201417238 0.016784770 0.007289533 0.869249938 0.875 13 0.176240083 0.013556929 0.005887700 0.875137638 0.875 14 0.154210073 0.011015005 0.004783756 0.879921394 0.875 15 0.134933814 0.008995588 0.003906734 0.883828128 0.875 16 0.118067087 0.007379193 0.003204743 0.887032871 0.875 17 0.103308701 0.006076982 0.002639200 0.889672071 0.875 18 0.090395114 0.005021951 0.002181005 0.891853076 0.875 19 0.079095724 0.004162933 0.001807939 0.893661015 0.875 20 0.069208759 0.003460438 0.001502849 0.895163864 总计 2.061190973 0.895163864 --- ﹝八﹞
ln9=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=2.197224577。
ln9之前20项和为2.169358988，又log9之前20项和为0.942140636。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.888888889 1 0.888888889 0.888888889 0.386039539 0.386039539 0.888888889 2 0.790123457 0.395061728 0.171573128 0.557612667 0.888888889 3 0.702331962 0.234110654 0.101672965 0.659285632 0.888888889 4 0.624295077 0.156073769 0.067781977 0.727067609 0.888888889 5 0.554928958 0.110985792 0.048200517 0.775268125 0.888888889 6 0.493270185 0.082211697 0.035704086 0.810972212 0.888888889 7 0.438462386 0.062637484 0.027203114 0.838175325 0.888888889 8 0.389744344 0.048718043 0.021157977 0.859333303 0.888888889 9 0.346439417 0.038493269 0.016717414 0.876050717 0.888888889 10 0.307946148 0.030794615 0.013373931 0.889424648 0.888888889 11 0.273729909 0.024884537 0.010807217 0.900231865 0.888888889 12 0.243315475 0.02027629 0.008805881 0.909037746 0.888888889 13 0.216280422 0.016636956 0.007225338 0.916263084 0.888888889 14 0.192249264 0.01373209 0.005963771 0.922226855 0.888888889 15 0.170888235 0.011392549 0.004947721 0.927174576 0.888888889 16 0.151900653 0.009493791 0.004123101 0.931297677 0.888888889 17 0.135022803 0.007942518 0.003449392 0.934747068 0.888888889 18 0.120020269 0.006667793 0.002895786 0.937642854 0.888888889 19 0.106684684 0.005614983 0.002438556 0.940081410 0.888888889 20 0.09483083 0.004741542 0.002059225 0.942140636 总计 2.169358988 0.942140636 --- ﹝九﹞
ln10=+()2+()3+()4+()5+…+()n+…
=2.302585093。
ln10之前20项和为2.263349734，又log10之前20项和为0.982960298。此数误差大，以log10=1为准确。
公比 项数n (3)(公比)n (4)第n项 (3)×常数 (4)×常数 0.9 1 0.9 0.9 0.390865033 0.390865033 0.9 2 0.81 0.405 0.175889265 0.566754298 0.9 3 0.729 0.243 0.105533559 0.672287857 0.9 4 0.6561 0.164025 0.071235152 0.743523009 0.9 5 0.59049 0.118098 0.05128931 0.794812318 0.9 6 0.531441 0.0885735 0.038466982 0.833279301 0.9 7 0.4782969 0.068328129 0.029674529 0.86295383 0.9 8 0.43046721 0.053808401 0.023368692 0.886322521 0.9 9 0.387420489 0.043046721 0.018694953 0.905017475 0.9 10 0.34867844 0.034867844 0.015142912 0.920160387 0.9 11 0.313810596 0.028528236 0.012389655 0.932550043 0.9 12 0.282429536 0.023535795 0.010221466 0.942771508 0.9 13 0.254186583 0.019552814 0.008491679 0.951263188 0.9 14 0.228767925 0.016340566 0.007096618 0.958359805 0.9 15 0.205891132 0.013726075 0.005961159 0.964320964 0.9 16 0.185302019 0.011581376 0.005029728 0.969350692 0.9 17 0.166771817 0.009810107 0.004260475 0.973611167 0.9 18 0.150094635 0.008338591 0.003621404 0.977232571 0.9 19 0.135085172 0.007109746 0.003087723 0.980320294 0.9 20 0.121576655 0.006078833 0.002640004 0.982960298 总计 2.263349734 0.982960298 --- 注意第56项之和为2.30220523，可知级数收敛极慢。
〈对数探源?卷二〉又提供以下之算法：
已知log2=0.30103，log3=0.47712126
log4=log22=2log2=2×0.30103=0.60206。
log5=log10/2=log10–log2=1–0.30103=0.69897。
log6=log2×3=log2+log3=0.30103+0.47712126=0.77815126。
log8=log2×4=log2+log4=0.30103+0.60206=0.90309。
log9=log32=2log3=2×0.47712126=0.95424252。
log10=log2×5=log2+log5=0.30103+0.69897=1。
〈对数探源?卷二〉log10之算法仍用尖锥法，非上述之对数加法。
如一数可分解成因子，而因子之对数为已知，则可以以对数加法求该数之对数，〈对数探源〉已采用此法。亦可采用减法，如求以上之log5。
以下为部份原文：
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