期末考点占比期中&第一次月考的考点占比来自星星的寓意：★☆☆☆☆☆：“识记”解决你“记不住”的问题★★☆☆☆☆：“理解”解决你“不明白”的问
题★★★☆☆☆：“操作”解决你“不会用”的问题★★★★☆☆：“识别”解决你“用错地方”的问题★★★★★☆：“迁移”解决你“不会变着
用”的问题★★★★★★：“综合”解决你“不会综合用”的问题第一章一元二次方程本章进步目标★★★★★☆Level5通过对本节课的学
习，你能够：1．对一元二次方程的概念与解法，达到【操作】级别；2、对一元二次方程的含参问题，达到【操作】级别；3、对一元二次方程的
新定义问题，达到【识别】级别；4、对一元二次方程的应用，达到【迁移】级别；VISIBLEPROGRESSSYSTEM进步可视化
教学体系第一关一元二次方程★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能用适当的方法解一元二次方程；★★★☆☆☆你能
正确运用韦达定理解题；★★★☆☆☆操作关卡1-1过关指南笔记1、解一元二次方程的四种方法：（1）直接开平方法：→解为，对于解的
个数的情况：①若，则原方程有两个不相等的实根；②若，则原方程有两个相等的实根；③若，则原方程没有实数根。（2）配方法解一元二次方
程的一般步骤：①移：使方程左边只含带未知数的项，右边为常数项；②化：方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1；③配：方程两边
都加上一次项系数一半的平方，使左边成完全平方；④解：按照直接开平方法解方程。（3）公式法：叫做一元二次方程根的判别式当时，方程的实
数根可以写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。解题步骤：①把方程化成一般形式：并确定出、、；②求出，并判断方程解的情况
；③代公式：（要注意符号）（4）因式分解法因式分解法，是先使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现“降次”，进而得到方程的解的方法。①提公因式②完全平方公式：；③平方差：④十字相乘：2、四种解法的适用情景：（1
）直接开方法：型或型方程；（2）配方法：一次项系数为二次项系数偶数倍的方程；（3）公式法：全部的方程够可以使用，但是解答过程较为麻
烦；（4）因式分解法：大多以十字相乘的形式出现；例题1．解下列方程：（1）（2）（3）（4）Exercise1（1）（2）
（3）（4）★★★★★☆迁移关卡1-2笔记过关指南1、韦达定理：对于一元二次方程()有两个根、，有：例题1．（1）已知
一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是（）A．B．C．D．（2）若关于的一元二次方程的两个实数根满足，则=．2．
已知，是一元二次方程的两个根，求的值．3．已知，（）是方程的两个根，不解方程求下列各式的值．（1）；（2）；过关练习Exerc
ise1（1）不解方程说出下列方程的两根和与两根积：①，，。②，，。③，，。（2）若关于的方程的两个实根满足，则=_______
．Exercise2已知、是方程的两根，那么的值是．Exercise3设，（）是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1
）；（2）；第二关一元二次方程的含参问题★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能根据一元二次方程有实数根求
参数；★★★☆☆☆你能根据一元二次方程有整数根求参数；★★★☆☆☆你能根据一元二次方程根的正负求参数。★★★☆☆☆操作关
卡2-1过关指南笔记1．一元二次方程的根的判别式：；（1）方程有两个不等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个
实数根；（4）方程无实数根；注：根据根的判别式判断方程的根的情况的前提是，满足该方程是一元二次方程．例题1．已知关于的方程，试判断
此方程根的情况．2．如图，在四边形中，，、的长为关于的一元二次方程的两根．（1）求的长；（2）若四边形的面积为，求的周长．过关练习
错题记录Exercise1设为实数，试判断方程有无实数根．Exercise2已知如图，四边形中，,于，于，，且关于的方程有实
数根，．若CD=1,求的值．第三关一元二次方程的应用★★★★★☆Level5本关进步目标★★★★★☆你能用一元二次方程求解
增长类问题；★★★★★☆你能用一元二次方程求解传染类问题；★★★★★☆你能用一元二次方程求解销售类问题；★★★★★☆你能用一
元二次方程求解握手类问题；★★★★★☆你能用一元二次方程求解面积类问题；★★★★★☆迁移关卡3-1例题过关指南1．中国“一带
一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民年人均年收入美元，预计年人均年收入将达到美元，设年到年该地区居民人均年
收入平均增长率为，可列方程为（）A．B．C．D．2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，已知两次降价的百分率
相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（）A．B．C．D．3．某市为了加快城市建设力度，年市政府共投资亿元人民币，预
计到年底三年共累计投资亿元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为，可列方程（）A．B．C．D．过关练习Exerci
se1某地区年投入教育经费万元，年投入教育经费万元．（1）求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均
增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元．Exercise2某新华书店计划第一季度共发行图书万册，其中一月份发行图书万册，二、
三月份平均月增长率相同，若增长率不变，求四月发行图书多少万册？★★★★★☆迁移关卡3-2例题过关指南1．有一人患了红眼病，经过
两轮传染后共有人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（）人．A．B．C．D．2．若一人患了流感，经过两轮传染后共有
人患了流感，按这样的传染速度，若人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（）A．人B．人C．人D．人3．一种分裂病菌，两次分
裂后变成了个，那么在每次分裂中，平均一个病菌可以分裂为（）A．个B．个C．个D．个4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支
干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，设每个支干长出个分支，则的值为（）A．B．C．D．过关练习Exercis
e1有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（）A．B．C．D．Exerc
ise2有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，按此传染速度，若最初有两人患了流感，经过两轮传染后患了流感的总人数是（
）A．人B．人C．人D．人Exercise3某种分裂病菌，经过两次分裂后变成了个，那么在每次分裂中，平均一个病菌可以分裂为（
）A．个B．个C．个D．个Exercise4有一株玫瑰，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
主干、支干和小分支的总数是．设每个支干长出个小分支，根据题意可列方程为．★★★★★☆迁移关卡3-3例题过关指南1．某商店原来
平均每天可销售某种水果千克，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每千克降价元，那么每天可多售出千克，若要平均每天盈利元
，则每千克应降价多元？设每千克降价元，则所列方程是（）A．B．C．D．2．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可
卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．现在要使利润为元，每件商品应降价（）元．A．B．C．D．3．水果
店张阿姨以每千克元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克元的价格出售，每天售出千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，
每天可多售出千克，为了保证每天至少售出千克，张阿姨决定降价销售．（1）若售价降低元，则每天的销售量为千克、销售利润为元；（2）
若将这种水果每千克降价元，则每天的销售量是千克（用含的代数式表示）；（3）销售这种水果要想每天盈利元，张阿姨应将每千克的销售价降
至多少元？过关练习Exercise1一件工艺品进价为元，标价为元售出，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降低元出售，则每天
可多售出件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为元，每件工艺品需降价（）元．A．B．C．或D．Exercis
e2某厂经有关部门批准，计划生产“世博会”吉祥物“海宝”，每日最高产量为只，且每日产品全部售出．已知生产只吉祥物“海宝”的成本为
（元），售价每只为（元），且，与的关系式分别为，，求当日产量为多少时，每日获得利润为元？Exercise3某超市将进货单价为元的
商品按元出售，每天可卖个，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少个，超市为使这种商品每天赚得元的利润，商品的售价应定为每件多少元？★
★★★★☆迁移关卡3-4例题过关指南1．在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手次，则参加这次聚会的同学
共有（）A．人B．人C．人D．人2．“十一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场
比赛，则这次参加比赛的队伍有（）A．支B．支C．支D．支3．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡张，则这个小组共有
（）人A．B．C．D．Exercise1过关练习在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手次，则参加这次会议的人
数是（）A．人B．人C．人D．人Exercise2个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场）
，总的比赛场数为（）A．B．C．D．Exercise3教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．
据统计，全组共发了条祝福短信，如果设全组共有名教师，依题意，可列出的方程是（）A．B．C．D．★★★★★☆迁移关卡3-
5例题过关指南1．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方
形边长为，那么满足的方程是（）A．B．C．D．2．在一幅长厘米，宽厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形
挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是平方厘米，设金色纸边的宽为厘米，那么满足的方程是（）A．B．C．D．3．如图
，某农场有一块长，宽的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为，求小路的宽．设小
路的宽为，则可列方程为（）A．B．C．D．4．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用
长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于的方程
是（）A．B．C．D．Exercise1过关练习王叔叔从市场上买了一块长，宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，
他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．
B．C．D．Exercise2如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草
坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．Exercise3某学校拟建一间矩形活动室，一面
靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，建成后的活动室面积为
，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．第二章二次函数第一关二次函数的图像与系数的
关系★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆掌握并应用二次函数图像与系数间的关系。★★★☆☆☆操作关卡1-2过关
指南笔记笔记：对于抛物线，系数a、b、c的影响:(1)对称轴：左同右异。a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b异号，对称轴在y轴右侧
.(2)抛物线与x轴交点个数：，图象与x轴有2个交点；，图象与x轴有1个交点；，图象与x轴没有交点.a、c异号，抛物线与x轴一定
有两个交点,且分别在y轴的两侧。例题1．如图，二次函数的图象中，有下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），（5）（6）（7），
其中正确的有2．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤,（的实数）其中正确的结论结论序号是_______
__.3．二次函数的图像如图所示，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个Ex
ercise1过关练习如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线．给出四个结论：①；②；③其中正确结论是________
___.Exercise2二次函数的图像如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤当时，总有其中正确的有____________（填
写正确结论的序号）Exercise3如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④．其
中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1第二关二次函数图像变换★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能
掌握二次函数图象平移变换规律；★★★☆☆☆你能掌握二次函数图象对称变换规律。★★★☆☆☆操作关卡2-1过关指南笔记1．平移
规律：“上+下，左+右”．例题1．抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．B．C．D．2
．二次函数的图象如何移动就得到的图象（）A．向左移动个单位，向上移动个单位B．向右移动个单位，向上移动个单位C．向左移动个
单位，向下移动个单位D．向右移动个单位，向下移动个单位3．把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析
式是，则________________．4．如图，平行四边形中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．⑴求点，，的
坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．Exercise1将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线是（）
A．B．C．D．Exercise2将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（）A．B．C．D．Exerci
se3抛物线与轴相交于点，且过点．⑴求的值和该抛物线顶点的坐标．⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，
并写出平移后抛物线的解析式．第三关二次函数与方程不等式★★★★★☆Level5本关进步目标★★★☆☆☆能根据数形结合的方法求
参数的取值范围；★★★★★☆能根据因变量取值范围求解自变量取值范围。★★★★★☆迁移关卡3-1过关指南笔记1．二次函数与轴
交点的横坐标是一元二次方程的根．①当时，图象与x轴交于两点，其中的,是一元二次方程的两根；②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图
象与轴没有交点；2．直线与抛物线交点的横坐标是方程的解；①利用数形结合判断方程解的个数；②利用联立方程求解交点坐标；3．直线、抛物
线的交点横坐标是方程的解．例题1．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．B．C．D．2．已
知关于的函数，（1）若该函数与轴有两个交点，则的取值范围为________；（2）若该函数与坐标系有三个交点，则的取值范围为__
______；（3）若该函数与坐标系有两个交点，则的取值范围为________．3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二
次方程的解为______________．4．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）有解，则的取值范围是
______．5．如图是二次函数和一次函数的图象，当，的值是__________．过关练习Exercise1已知抛物线，（1）若
抛物线与轴有两个交点，则的取值范围为___________；（2）若抛物线与坐标系有三个交点，则的取值范围为___________
__．Exercise2已知二次函数的部分图象（如图），由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和（）A．B．C．
D．Exercise3二次函数（，，，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（）A．B．C．D．过关指南笔记★★★
☆☆☆操作关卡3-21．对于同一坐标系里的两个函数图像有如下规律：上大下小，对于两个函数、，的解可以通过观察图像找到在上面时的范
围从而得到不等式的解．例题如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是___________；方程的解是__________
_；不等式的解集是___________；不等式的解集是____________．2．如图二次函数的图象，使成立的的取值范围是（
）A．B．C．D．或3．如图，直线与抛物线交于，两点，则关于的不等式的解集是____________．4．如图，
已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．或过关练习错题
记录Exercise1如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______
______．Exercise2已知二次函数的图像如图所示，根据图中提供的信息，求使得成立的的取值范围是____________
．Exercise3直线与抛物线的图像如图所示，当时，的取值范围为（）A．B．C．D．或第四关二次函数与几何综合
★★★★★☆Level5本关进步目标★★★★★☆你能解决关于线段的最值问题；★★★★★☆你能解决面积的相关问题；★★★★☆
☆识别关卡4-1例题过关指南1．如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交
于点B．（1）若直线经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离
之和最小，求出点M的坐标及周长最小值.2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，并且，动点在三点的抛物线上，（1）求抛物线的解
析式；（2）过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标过关练习Exercis
e1已知二次函数的图象与轴交于（在点的左侧），与轴交于点，顶点为.（1）试确定的值，并直接写出点的坐标；（2）试在轴上求一点,使
得的周长取最小值；求出P点坐标以及周长的最小值．★★★★★☆迁移关卡4-2笔记过关指南1．三角形面积：；图中PE为铅垂高，O
B为水平宽；例题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（，0），B（3，0），C（0）三点．D为抛物线顶点。（1
）求这个二次函数的解析式；（2）求ΔDCB的面积；（3）若ΔMCB的面积是，且点M在直线BC下方的抛物线上，求点M坐标；（4）P是
BC下方抛物线上一点，△PBC的的面积是否存在最大值，若存在求出最大值及此时P点标；（5）在抛物线上是否存在一点Q，使在四边形OC
QB面积最大？若存在，求出最大面积.过关练习Exercise1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物
线的解析式；（2）点在直线上方的抛物线上，是否存在点使的面积最大，若存在，求点坐标．（3）点E(，)在抛物线上，问在抛物线上是否存
在一个动点P，使四边形EBPC面积最大？若存在，求出最大面积；若不存在，说明理由。第五关存在性问题★★★★★☆Level5本
关进步目标★★★★★☆你会用“两圆一垂”解决等腰三角形存在性问题，掌握数形结合及万能公式；★★★★★☆你会用“两垂一圆”解
决直角三角形存在性问题，掌握数形结合及万能公式.★★★★★☆迁移关卡5-1Tips过关指南过关指南Tips学习重点：方程思想运用
或数形结合求解等腰三角形存在性问题.笔记1、定点：列定点和动点坐标动点坐标设置：在x轴上，设（x，0）；在y轴上，设（0，y）在
函数上，设横坐标为a,代入函数得纵坐标——原则：只设一个2、距离公式的应用：两点距离公式3、等腰三角形分类：按顶点分类——①若A
C=AB；②若BA=BC；③若CA=CB例题1．已知直线与x轴、y轴分别交于B（4，0），C（0，12）两点．（1）求k，b
的值；（2）若P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？这样的P点有几个？2．如图
，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在点M使△ACM为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的M点坐标；若
不存在，请说明理由．过关练习错题记录Exercise1在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若y轴上存在点P，使△OAP
为等腰三角形（其中O为坐标原点），则符合条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个Exercise2如图，抛物线
的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物
线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件
的P点的坐标，若不存在，请说明理由．★★★★★☆迁移关卡5-2过关指南Tips学习重点：方程思想运用或数形结合求解平行四边形存
在性问题.笔记两定两动的数形结合分类讨论：定线段为边或对角线①定线段AB平行于坐标轴：i若AB为边，作平行线得交点，根据两点距离
求交点ii若AB为对角线，对称性质求交点②定线段AB不平行于坐标轴——“高度差”操作法则：a.求出A，B两点纵坐标之差为|y|
b.作y=|y|以及y=-|y|两条直线c.与函数交点即为所求函数上点d.利用三定一动解决问题.适用条件：动点一点在x轴上
，另一点在函数上.例题1．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（0，0），C（4，0），在平面直角坐标系内找一点D，使A
、B、C、D四点构成一个平行四边形.Exercise1已知在平面直角坐标系中，A（4,3），B（2,4）以及C（1,6），请问
，是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形。若存在，请求出满足条件的所有D点;若不存在，请说明理由Exerc
ise2如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线
及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以
B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；第六关二次函数应用题★★★★★☆Leve
l5本关进步目标★★★★★☆你会结合图象建立合适的直角坐标系解决二次函数类问题；★★★★★☆你能够在销售问题中灵活掌握各个
量之间的关系结合二次函数解决实际问题。★★★★★☆迁移关卡6-1过关指南笔记一、解题步骤：①根据实际问题，建立平面直角坐标系；②
用待定系数法求二次函数解析式．例题1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，
此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（）A．B．C．D．2.一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB
在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线成45°角，水流最高点C比喷
头高2米，求：（1）求点C的坐标；（2）求此抛物线解析式；（3）水流落点D到A点的距离．.某隧道横断面由抛物线和矩形的三
边组成，尺寸如图所示(1)以隧道横断而抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（
2）某集装箱箱宽，车的高一共是，此车能否通过隧道？并说明理由．Exercise1如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，
羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距
\离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球
网的水平距离.（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到
离地面的高度为Exercise2如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建
立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为．（1）求抛物线的关系式；（2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车
能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．（2）在第（2）的前提下，若此隧道为双向隧道，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的
结论．Exercise3某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，
此能否通过此隧道？请说明理由．★★★★★☆迁移关卡6-2过关指南笔记一、销售问题的相关公式：利润=（单件售价单件成本）×总销量
利润=总售价总成本利润=利润率×进价=售价进价销售问题中，涉及到售价、销量等多个量的变化及关系，通过列表理清关系，如：进
价（元/件）售价（元/件）销量（件）每降价元销量增加件降价元销量增加件变化后的利润为：利润=（售价降价进价）（销量+增加的销量
）．例题1．已知某种产品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查发现，该产品每降价元，每星期可多卖出件，由于供
货方的原因销量不得超过件，设这种产品每件降价元（为整数），每星期的销售利润为元．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围
；（2）求该厂产品销售定价为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？2．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了
合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得
低于成本．（1）求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利
润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于元，那么销售单价应控制在什么范围内？Exercise1“国庆”期间，某电影院装
修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数（张）与电影票售价（元/张）之间满足一次函数关系：，是整数，影院每天运营
成本为元，设影院每天的利润为（元）（利润=票房收入运营成本）．（1）试求与之间的函数关系式；（2）影院将电影票售价定为多少时，每天
获利最大？最大利润是多少元？Exercise2某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．市场调查发现，这种双肩包每天
的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元．（1）求与之间的函数解析式；（2）这种双肩
包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于元，该商店销售这种双
肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？第三章旋转本章进步目标★★★★☆☆Level4通过对本节课的学习，你能够：1．
对旋转的相关概念，达到【理解】级别；2．对平面直角坐标系中的旋转问题，达到【操作】级别；3．对旋转的模型，达到【识别】级别.VIS
IBLEPROGRESSSYSTEM进步可视化教学体系第一关旋转的定义★★☆☆☆☆Level2本关进步目标★★☆☆☆☆你
会描述旋转的过程，掌握三要素；★★☆☆☆☆你能理解旋转的三个性质，会找旋转中心；★★☆☆☆☆你能理解中心对称与中心对称图形。
★★☆☆☆☆理解关卡1-1笔记过关指南平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。如果图形上的点
经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。旋转三要素：①旋转中心（不动的点）；②旋转角度（对应点与旋转中心连线的夹角）；③
旋转方向（顺时针或逆时针）.描述性语言：XXX绕着点X顺或逆时针旋转XX度得到XXX.4．旋转的性质：①旋转前后图形全等;②旋
转角都相等;③对应点到旋转中心距离相等.5．如何确定旋转中心：对应点连线的中垂线的交点．例题1．有下列四个说法，其中正确说法的个
数是()．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形
旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个
C．3个D．4个2．如图，点是等边内一点，如果绕点逆时针旋转后能与重合，则的度数是（）A．B．C．D．过关练
习Exercise1下列正确描述旋转特征的说法的是（）A．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B．旋转后得到的图形
与原图形形状不变，大小发生变化．C．旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没
有发生变化．Exercise2如图，是等腰直角三角形内一点，是斜边，如果将绕点按逆时针方向旋转到的位置，那么的度数是_____
______．★★☆☆☆☆理解关卡1-2过关指南笔记1.把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点成中心对称，这个点就叫做对称中心.2.如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称
图形.3.中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等图形；②对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；③对应线段平行
（或在同一直线）且相等．4.常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正边形．例题1.北京教育
资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大
学D．中国人民大学2.在下面图案中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3.如图，与关于点成
中心对称，下列说法：①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（）OA．1个B．2个C．3个D．4个过关练习错
题记录Exercise1下列各图中为中心对称图形的是（）A．B．C．D．Exercise2有以下图形：平行四边形、矩形
、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．个B．个C．个D．个Exercise3若
两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③一定存在某条直线，沿
该直线折叠后的两个图形能互相重合．A．①②B．①③C．②③D．①②③第二关平面坐标系中的旋转问题★★★☆☆☆Level
3本关进步目标★★★☆☆☆你能掌握绕原点转180°或90°的规律；★★★☆☆☆你能掌握绕原点转非90°（30°,60°,120
°,150°）的方法。★★★☆☆☆操作关卡2-1笔记过关指南1．绕原点转（也叫关于原点成中心对称），点的坐标变化规律：横纵坐标
均互为相反数．2．绕原点转，点的坐标变化规律：横纵坐标互换，符号看象限．3．已知，将线段绕点逆时针旋转①转至，则②转至，则③转至，
则④转至，则总结：做垂直构造直角三角形并利用特殊角度求长，求坐标．例题1．在平面直角坐标系中,将点绕原点旋转，所得到的对应点
的坐标为______．2．在平面直角坐标系中，的坐标的为，将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（）A．B．C．D．3．如
图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，作出关于坐标原点成中心对称的.4．如图，正方形的边长为，则该正方形绕点逆时针旋转后，点的的
对应点坐标为（）A．B．C．D．5．如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是________
__．过关练习Exercise1如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为．如果将矩形绕点顺时针旋转，旋转后的图形为矩
形，那么点的坐标为（）A.B．C．D．Exercise2如图在中，.将绕原点旋转后得到则点的坐标是(????)A.
B.或C.D.或Exercise3在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(1)如果
建立直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____；(2)画出绕点顺时针旋转后的．Exercise4如图，正方形
的边长为,将绕逆时针旋转后，点的的对应点坐标为（）A.B．C．D．第三关旋转的模型★★★★☆☆Level4本关进步
目标★★★★☆☆你能掌握常见的半角模型及结论；★★★★☆☆你能掌握奔驰模型及结论。★★★★☆☆识别关卡3-1笔记过关指南一
、1、正方形中半角模型已知:在正方形中，当结论：①②2、等腰直角三角形中的半角模型已知:在等腰直角三角形中，，当结论：．3、一般等
腰三角形中的半角模型已知:在等腰三角形中，，当结论：．4、矩形中的半角模型已知:在矩形中，当结论：．二、1、已知是等边三角形内一
点，若，则2、已知点是正方形内一点，当，则．例题1．已知正方形中，分别是边上的点，且，判断线段之间的数量关系，并说明理由．2．如图
，在中，,，点在线段上（不与端点重合），且．判断三条线段的关系．3．在中，，判断线段三者之间的关系．4．如图，等边内有一点,若
点到顶点，，的距离分别为，，,则________．由于，不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，此时_______
_，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出的度数．5．如图点是正方形内一点，，求的度数．过关练
习Exercise1如图，正方形的边长为，点分别在边上，,则的周长等于多少？Exercise2如图在中，，是斜边上两点，且，
将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①②;③;④,其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③
D．①③Exercise3菱形中，，分别是边上的点，且．判断线段之间的数量关系，并说明理由．Exercise4是等边三
角形内一点，，，求的长．Exercise5如图,在中,,点是内一点，，求的度数．第四章圆本章进步目标★★★★★☆Level5
通过对本节课的学习，你能够：1．对垂径定理，达到【识别】级别；2．对圆周角定理，达到【迁移】级别；3．对与圆有关的位置关系，达到【
识别】级别；4．对切线长定理及三角形内切圆，达到【识别】级别；5．对弦切角及切割线定理，达到【识别】级别；6.对弧长及扇形面积、
圆锥，达到【操作】级别；7.对正多边形与圆，达到【操作】级别；8.对圆与全等，达到【识别】级别；9．对四点共圆，达到【识别】级
别；10.对与圆有关的轨迹问题，达到【迁移】级别；11．对二次函数与圆，达到【迁移】级别。VISIBLEPROGRESSSY
STEM进步可视化教学体系第一关垂径定理★★★★☆☆Level4本关进步目标★★☆☆☆☆能够理解圆的对称性和垂径定理的关系；
★★★☆☆☆能使用垂径定理求出圆中对应线段的长度；★★★★☆☆能识别使用垂径定理的情景，会添加辅助线。★★★★☆☆识别关卡
1-1笔记过关指南圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是其对称中心.2．垂径定理：垂直于弦的
直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。例题已知圆的两条平行的弦长
分别为6cm和8cm，圆的半径为5cm，则两条平行弦的距离为．2．已知点是半径为的内的一个定点，且，则过点的所有弦中，弦长为
整数的弦共有多少条（）A．条B．条C．条D．条3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5
：8，则⊙O的半径为．4．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AE=7cm，BE=3cm，∠AED=60°，则弦CD的长为__
_____.5．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM
+FN=_______.6．（1）如图，AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3.5，那么B
C的长度是_______.（2）如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM平分∠AHC，
HM交AB于M．若AC=3，BC=1，则MH长为_______.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为_______.过关练习Exercise1在直径为50的⊙O中，弦AB∥
CD，若AB=30，CD=48，则两弦的距离为．Exercise2为内一点，，半径为，则经过点的最短弦长为_______
___，最长弦长为_________。Exercise3如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦C
D的长为．Exercise4如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=
2：3，则弦CD的长为_______．Exercise5如图，AB为⊙O的直径，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB上两点，
且∠MEB=∠NFB=60°，，则直径AB的长为．Exercise6（1）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形AB
C的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为_______.（2）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥B
C，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．
第二关圆周角定理★★★★★☆Level5本关进步目标★★★★★☆能利用圆周角定理做辅助圆求解问题；★★★★★☆你能利用圆内
接四边形性质进行复杂的几何证明.★★★★★☆迁移关卡2-1过关指南笔记1．定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．2．推
论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．3．推论2：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦
是直径．几何语言：①∵是直径∴②∵∴是直径例题1．如图，点、、在上，，点在优弧上，则等于______．2．（1）已知在上
有、、三点，，则的度数是___________；（2）已知的半径为，弦，点是圆上异于、的一点，则的度数为___．3．如图．内接于
，为直径，，，是弧的中点，与的交点为，则等于（）A．B．C．D．4．如图，是的直径，，交于点，交于点，，给出
下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是___________________．过关练习Exercise1如图，在
中，弦的长等于的半径，点在优弧上，则为_____________．Exercise2如图，是的直径，是弦，如果，比大，则等于（
）A．B．C．D．Exercise3如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，，则的长为__________．Exerc
ise4如图1，在中，以为直径作分别交，于点、，且．（1）求证：．（2）若，求的度数．★★★★★☆迁移关卡2-2过关指南笔记一
、定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角．例题1．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为（）
A．B．C．D．2．如图，两圆相交于、两点，小圆经过大圆的圆心，点、分别在两圆上，若，则的度数为___________
__．3．如图，点、、、在上，点在的内部，四边形为平行四边形，则_______________．4.如图，在中，以为直径的圆分别
交边、于、两点，连接、．若平分，则下列结论：①②③是等腰三角形④不一定成立的是_______________过关练习错题记录Ex
ercise1如图，四边形内接于，已知，则的大小是（）A．B．C．D．Exercise2如图，过原点，且与两坐标轴
分别交于点、，点的坐标为，是第三象限内弧上一点，，则的半径长为______________．Exercise3已知，以为直径的分
别交于，于，连接，若．（1）求证：；（2）若，，求的长．Exercise4已知：是的内接正三角形，为弧上一点（与点、不重合），
（1）如果点是弧的中点，求证：；（2）如果点在弧上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．第三关与圆有关的位置关系★★★★☆☆
Level4本关进步目标★★★☆☆☆你能够判断点与圆的位置关系；★★★☆☆☆你能够利用点与圆的位置关系判断半径大小；★★★★
☆☆你会求圆外一点到圆上一点距离的最值；★★★☆☆☆你能够判断直线与圆的位置关系；★★★★☆☆你能利用切线性质解题。★★★★
☆☆识别关卡3-1过关指南笔记1、点与圆的位置关系:点在圆内<——>点在圆上<——>点在圆外<——>例题1．如图，为直角三
角形，,,,以点为圆心，以为半径作，则斜边的中点与的位置关系是（）A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定2．已知中，
,，，，垂足为，以点为圆心作圆，使得点在外，点在内，设的半径为，那么的取值范围是__________3．已知，,,以点为圆心为半径
作圆，如果点、点只有一个点在圆内，那么半径的取值范围是_______4．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是____
_____过关练习Exercise1已知矩形中，，,若以点为圆心，长为半径画，则点与的位置关系为（）A.点在内B.点
在上C.点在外D.无法判断Exercise2已知中,,，，点为边的中点，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点、在内，点在外
，则的取值范围是________Exercise3如图，在矩形中，,以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点中至少有一个点在
圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是。ABCDExercise4一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是__
_____★★★★☆☆识别关卡3-2例题1．如图，四边形内接于⊙O，⊙O的直径,在的延长线上，.若，，求证：是⊙O的切线.
如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径.求证：AB是⊙O的切线；3
.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB
于点E，DE与OC相交于F.求证：CB与⊙O相切4．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B
（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A．10B．C．D．5.如图，点C在以AB为
直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．求证：AC平分∠DAB；过关练习Exercise1如图，在中
，，以为直径的交于点，作于点.求证：为的切线.Exercise2如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O交AC于点E，
过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G.GE与⊙O相切.Exercise3如图，△ABC为等边三角形，O为BC
的中点，作⊙O与AC相切于点D．求证：AB与⊙O相切第四关切线长定理及三角形内切圆★★★★☆☆Level4本关进步目标★★☆☆
☆☆你能理解切线长及切线长定理；★★★☆☆☆你能利用切线长定理解决问题；★★★☆☆☆你能求解三角形内切圆半径；★★★★☆☆
你能利用内心的性质解决问题。★★★☆☆☆操作关卡4-1过关指南笔记1．切线长：定义：从圆外一点作圆的切线，我们把点到切点间的线
段的长叫做点的切线长。如图，PA，PB是圆的两条切线，切点分别是A和B，PA、PB的长就是点到圆的两条切线长。2．切线长定理：过圆
外一点引圆的两条切线,切点为和.如图：①它们的切线长相等,即;②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,即平分.例题1．如图，⊙O
是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD=13，AC=25，BC=35，则BD的长度为（）A．23B．22C．21D．无法
确定2．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm．则△PDE的周长为_____
______；若，则_________.过关练习错题记录Exercise1如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB
=14cm，BC=18cm，AC=20cm，求AE、BF、CD的长Exercise2如图，已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B
、C三点，若PO=13cm，△PDE的周长为24cm，∠APB=36°，求：（1）⊙O的半径；（2）∠EOD的度数．过关指南笔记
★★★★☆☆识别关卡4-21．三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形.三角形的内心到三边距离相等，是三条内角平分线的交点。2、直角三角形的内切圆半径公式：；如图（1）一般三角形的内切圆
半径公式：。如图（2）图（1）图（2）例题1．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆⊙O的半径是（）
A．1B．2C．2.5D．52．已知是等腰三角形，，，求的内切圆半径.3．如图，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=
c，求内切圆O的半径r.4．如图，∠C=90°，Rt△ABC的内切圆⊙O分别切三边于点E，F，G，AO的延长线交BC于点D，若AC
=6，CD=3．（1）求证：CE等于⊙O的半径；（2）求⊙O的半径；（3）求△ABD的面积．过关练习错题记录Exercise1
在△ABC中，已知∠C=90°，BC=5，AC=12，则它的内切圆周长是（）A．5πB．4πC．2πD．πExercis
e2已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm，能从这块钢板上截得得最大圆的半径为_____________.Ex
ercise3如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，BO的延长线交AC于点D，若BC=4，CD=2，则⊙O的半径的值是
___________．Exercise4如图，△ABC中，∠C=90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6
，AC=8．（1）求⊙I的半径；（2）求线段OI的长．Exercise5如图，圆O是的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、
D，点P在弧DE上，如果，那么（）A．40°B．50°C．60°D．70°Exercise6如图，点E是△ABC的内心，AE
的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，BE，CE，若，则∠BEC=（）A．66°B．114°C．123°D．1
32°第五关弧长和扇形面积、圆锥★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能理解弧长公式、扇形面积公式的推导过程并能
熟练运用公式进行相关计算；★★★☆☆☆你能掌握求阴影面积、弓形面积的计算方法。★★★☆☆☆你能掌握圆锥侧面积以及全面积的计
算方法。★★★☆☆☆操作关卡5-1过关指南笔记1．弧长公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：；说明：在弧长公式中，
表示1°的圆心角的倍数，和180都不带单位“度”；2．扇形面积公式：如图所示，阴影部分的面积就是半径为，圆心角为的扇形面积的计算公
式是；3．弓形面积的计算方法：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形，弓形面积的计算方法可转化为扇形面积和三角
形面积计算；(1)当弓形所含的弧是劣弧时，；(2)当弓形所含的弧是优弧时，；(3)当弓形所含的弧是半圆时，．例题1．钟表的轴心到分
针针端的长为，那么经过分钟，分针针端转过的弧长是（）A．B．C．D．2．已知一个扇形的弧长为，圆心角是，则它
的半径长为（）A．B．C．D．3．扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）A．B．C
．D．4．若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径是（）A．B．C．D．5．如图，两同心圆的圆心为
，大圆的弦切小圆于，两圆的半径分别为，，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．POBA过关练习Exerci
se1在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为（）A．B．C．D．Exercise2已知扇形的圆心角为
，它所对应的弧长为，则此扇形的半径是（）．Exercise3半径为的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为（）Exercise
4(1)一个扇形的圆心角是，它的面积为，那么这个扇形的半径是（）A．B．C．D．(2)若半径为的圆中，扇形面积为
，则它的弧长为（）Exercise5半圆的直径为，，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．★★★☆☆☆操作关卡5
-2过关指南笔记1．母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；注：①圆锥的母线都相等；②圆锥的母线，圆锥的高，圆
锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形，满足；2．圆锥的侧面积、全面积的计算公式；设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图
是一个扇形，那么：图（1）这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为；3．圆锥的全面积为．注：扇形的半径是圆锥的母线；例题
1．若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的底面半径是（）．A．B．C．D．ＯＡＢ2．如图，将半径为的圆形纸
片，沿半径将其截成面积为两部分，将所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）．A．B．C．或D．ＡＣＢ3．
如图，在中，，，若以为底面圆半径，为高的圆锥的侧面积为，以为底面圆半径、为高的圆锥的侧面积为，则（）．A．B．C．
D．有大小关系不确定过关练习错题记录Exercise1(1)若圆锥的母线长13，底面半径为，则此圆锥的高为（）A．
B．C．D．(2)已知圆锥的侧面展形图的面积是，若母线长是，则圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．E
xercise2一个三角尺的两直角边分别是和，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺使形成的旋转体的全面积为？第六关正多边形与圆★★★
☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能了解圆的内接正多边形、中心角、正多边形的中心、半径、边心距的概念；★★★☆☆☆
你能了解正多边形的对称性；★★★☆☆☆你能掌握用圆规、量角器和直尺作圆内接正多边形；★★★☆☆☆你能应用正多边形半径、中心角
、弦心距、边长之间的关系进行相关计算。★★★☆☆☆操作关卡6-1过关指南笔记1．各边相等，各个角也都相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成（）等份，依次连接每个等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；3．正边形的每一个内角等于，它的中心角等于，它的每
一个外角等于；4．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的每一边所对的圆
心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；5．正多边形的对称性；（1）正多边形都是轴对称图形，一个
正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心；（2）当是偶数时，正边形又是中心对称图形，对称中心为正多边形的中心，当为奇数时，
该多边形不是中心对称图形；6．利用等分圆弧的方法来作正边形：方法一：用量角器作的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，在圆上依次截取这
条弧的等弧，得到圆的等分点，从而作出半径为的正边形；方法二：特殊正多边形如正六边形、正十二边形、正方形、正八边形还可以用尺规等分圆
．例题1．正四边形的边长为，外接圆半径为，边心距为，则等于（）A．B．C．D．2．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正
六边形的边长之比为（）A．B．C．D．3．若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，则等于（）A．B．
C．D．4．一个正多边形的外角是，那么它的中心角是（）5．填表正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积过关练习Exerc
ise1已知正六边形的边长为，则它的边心距为（）cmA．B．C．D．Exercise2在同一个圆中，它的内接正
三角形、正方形、正五边形、正六边形中，周长最大的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形Exercise3
一个正三角形与正六边形周长相等，正三角形的面积是，则正六边形面积是（）Exercise4若一个正多边形的每个内角的度数是中心
角的倍，则正多边形的边数是（）A．B．C．D．第五章概率初步本章进步目标★★★☆☆☆Level3通过对本节课的学习，
你能够：1．对概率初步，达到【操作】级别。进步可视化教学体系VISIBLEPROGRESSSYSTEM第一关概率初步★★★☆☆
☆Level3本关进步目标★★☆☆☆☆你能理解随机事件、概率的概念；★★★☆☆☆你能用列举法求随机事件的概率；★★★☆☆☆
你能用频率估计随机事件的概率；★★☆☆☆☆理解关卡1-1过关指南笔记1、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、概率：刻画随机事件发生可能性大小的数值．记为，；必然事件：肯定会发生的事件，概率为；不可能事件：肯定不会发生的事件，概率为．
3、个等可能结果中发生个结果的概率为．例题1．下列事件是随机事件的是（）A．购买一张福利彩票，中奖B．在一个标准大气压下，加热
到℃，水沸腾C．有一名运动员奔跑的速度是米/秒D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球2．某厂家生产一批同一种型号的计算机，
并进行了质量抽查，随机抽取了台，检查其中合格的有台，估计从这批计算机中随机抽取1台是合格品的概率是（）A．B．C．
D．3．把一副有张的完整扑克牌洗均匀，从中随机抽取一张，抽得的扑克牌是的概率是_______．4．一个不透明的布袋里装有
个红球，个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出个球是黄球的概率为0.4，则_______．过关练习Exer
cise1有下列事件：有下列事件：（1）阴天会下雨；（2）随机掷一枚均匀骰子，点数为；（3）名同学中，有两人的出生月份相同；（4
）年世界杯足球赛冠军是巴西队；其中不确定事件有（）A．个B．个C．个D．个Exercise2从这九个自然数中任
取一个，恰好是的倍数的概率是（）A．B．C．D．Exercise3将一副扑克牌中的张梅花牌洗匀后正面向下
放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于的概率是_______．Exercise4袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验
，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有_______个．★★★☆☆☆操作关卡1-2过关指南笔记1、
列举法适用范围：试验可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，求随机事件发生的概率．2、列举法步骤：1、列举试验结
果；2、得出结果总数（）和事件结果数（）；3、运用公式P（A）=求概率．3、列举法的方法：1、列表法：适用于试验可能结果较少的情况
；2、树状图法：适用于事件要经过多个步骤完成的情况．例题1．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（）A．B．
C．D．2．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有
“一红一黄”的概率是（）A．B．C．D．过关练习Exercise1小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、
绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．Exercise
2要在小明、小红和小华三人中随机选两人作为学校国旗护卫班的旗手，则小明和小红同时入选的概率是（）A．B．C．
D．★★★☆☆☆操作关卡1-3过关指南笔记1、频数：在相同条件下次试验中，事件发生的次数；频率：事件发生的次数与总次数的比值，
即．2、用频率估计概率步骤：（1）做大量重复实验；（2）统计事件发生的频率；（3）用频率估计事件发生的概率．例题1．某人随意投掷一
枚均匀的骰子，投掷了次，其中有次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，则下列说法正确的是（）A．一定等于B．一定不等于C
．一定大于D．投掷的次数很多时，稳定在附近2．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相
同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是_______个．3．某市园林部门为
了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵树与成活棵树：移栽棵数成活棵数依此估计这种
幼树成活的概率是_______．（结果用小数表示，精确到）过关练习Exercise1下列说法正确的是（）A．“蒙上眼睛射击正中
靶心”是必然事件B．“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”说明掷一枚质地均匀的硬币次，必有次正面朝上C．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的
点数是的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是”这一事件发生的频率稳定在附近D．为了解某种节能灯的使用寿命，应选择全面
调查Exercise2黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝
莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在，该果农今年的蓝莓总产量约
为，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是_______．Exercise3从某玉米种子中抽取批，在同一条件下进行发芽试验，有
关数据如下：种子粒数发芽种子粒数发芽频率根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_______．（精确到）第六章反比例函数本
章进步目标★★★★★☆Level5通过对本节课的学习，你能够：1．对反比例函数图象及性质，达到【操作】级别；2．对反比例函数、一
次函数综合，达到【迁移】级别；3．对反比例函数的应用，达到【操作】级别；VISIBLEPROGRESSSYSTEM进步可视化教
学体系第一关反比例函数图像及性质★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能掌握反比例函数图象性质并会求解析式；★★
★☆☆☆你能掌握反比例函数解析式中的几何意义。★★★☆☆☆操作关卡1-1笔记过关指南1．反比例函数定义：一般地，形如（k是常
数，且）的函数，叫做反比例函数．2．解析式：，变形：，；3．图象：，图象在第一、第三象限；，图象在第二、第四象限；4．增减性：，在
每个象限内，y随x的增大而减小；，在每个象限内，y随x的增大而增大；5．对称性：函数图象关于原点中心对称．例题1．已知函数是反比例
函数，则________．2．（1）菱形的面积为，其对角线分别为，则与的变化规律用图象大致表示为（）A．B．C．D．（
2）已知一次函数与反比例函数其中为常数，且，则它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C
．D．3．（1）如图是三个反比例函数，在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系为（）A．>>B．>>C．>>
D．>>Exercise1过关练习设函数，当__________时，该函数是反比例函数．Exercise2若，则一次函数与
反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．Exercise3
已知点在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是()A．B．C．D．Exercise4（1）已知函数，当自变量的取值
为或，函数值的取值范围是__________．（2）已知反比例函数，当时，则的取值范围是__________．★★★☆☆☆操作关
卡1-2过关指南笔记1．种常见反比例函数求几何图形面积图解：1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．
12．13．14．15．例题1．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则
的值是（）A．B．C．D．2．如图，，是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∥轴，∥轴，的面积记为，则______
____．3．如图，过点分别作轴于点，轴于点，、分别交反比例函数的图象于点、，则四边形的面积为______________．
4．函数和在第一象限内的图象如图所示，点是图象上的一动点，轴于点，交的图象于点．给出如下结论：①与面积相等；②与始终相等；③四边形
的面积大小不会发生变化；④.其中所有正确的结论的序号是______________．过关练习错题记录Exercise1如图，过轴
正半轴上的任一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交与点和点，若点是轴的任一点，连接、．则的面积为_____________
__．Exercise2如图，过轴正半轴任意一点作轴的垂线，分别与反比例函数和的图像交于点和点．若点是轴上任意一点，连结、．则的
面积为______________．Exercise3如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，顶点、在第一象限内，且点的横坐标为．
对角线与交于点，若反比例函数的图象经过点与点，则平行四边形的面积为（）A．B．C．D．第二关反比例函数、一次
函数综合★★★★★☆Level5本关进步目标★★★★★☆你能辨析反比例函数与一次函数的应用情景求解实际问题；★★★★★☆你
能利用反比例函数与一次函数求解参数问题★★★★★☆迁移关卡2-1过关指南笔记1．一次函数解析式：，其中k为斜率，b为截距；一次
函数图象性质：当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交于y轴上点；2．若正比例函数与反比例函数交于点则
关于原点对称；3．点在函数图象上或函数图象过某点点的坐标满足函数解析式．例题1．如图，一次函数的图像与反比例函数（为常数，且）的
图像都经过点．（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图像直接比较：当时，和的大小．2．如图，函数的图象与函数的图象交与
两点，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）当时，观察图象，比较与的大小；（3）分别连接，当时，求函数的表达式．Exercise1
过关练习已知反比例函数与一次函数的图象交于和两点（如图）．（1）求这两个函数关系式；（2）求的面积；（3）直接写出：不等式的解集
．Exercise2如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求、两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写
出当时，的取值范围；（3）求的面积．第七章相似三角形本章进步目标★★★★★☆Level5通过对本节课的学习，你能够：1．对比例
与比例线段，达到【操作】级别；2．平行线分线段成比例，达到【操作】级别；3．对相似三角形性质，达到【识别】级别；4．对黄金分割与黄
金三角形，达到【识别】级别；5．对斜A型、斜X型，达到【识别】级别；6．对相似三角形的模型，达到【迁移】级别；7、对相似三角形的实
际应用，达到【迁移】级别；8、对相似三角形动态问题，达到【识别】级别。进步可视化教学体系VISIBLEPROGRESSSYST
EM第一关平行线分线段成比例★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能掌握常见平行线分线段所成比例；★★★☆☆☆
你能正确地作出辅助线构造相似解题。★★★☆☆☆操作关卡1-1笔记过关指南1．对于形如“”字的图形上线段的比例关系（）：，2．
对于形如“”字的图形上线段的比例关系（）：3．对于形如“”字的图形上线段的比例关系（）：例题1．（1）已知四条线段2，
a，5，a+2成比例，则a的值为（2）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如
果AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝．2.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果C
E＝2，EB＝5，AF＝3，那么AD＝．过关练习Exercise1(1)已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为
(2)如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，B
C＝4，DF＝15，那么线段DE的长等于．Exercise2如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝
6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为．第二关相似三角形性质★★★★☆☆Level4本关进步目标★★★★☆☆你能识别运
用相似三角形的性质解题.★★★★☆☆识别关卡3-1过关指南笔记1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
；2．相似三角形的性质定理：（1）相似三角形的对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相
似比，面积比等于相似比的平方．例题如图，△ABC∽△A''B''C''，AH，A''H''分别为△ABC和△A''B''C''对应边上的高，若AB
：A''B''＝2：3，则AH：A''H''＝_______．2.已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝4：5，那么S△ABC：S△D
EF＝_________．3.如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，OD:OC=2:3,OB=4，求AO和AB的长．
4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．过关练习
Exercise1（1）已知△ABC与△DEF的相似比为2：3．若△ABC周长为12，则△DEF周长为_________.
（2）两个相似三角形的面积比等于4：9，则它们对应边上的高之比等于_________.（3）两个相似三角形的面积比等于2：5，则
它们对应边上的中线之比等于_________.Exercise2如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE
=4，BC=12，CD=9，AD=3，求AE、BE的长．Exercise3如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC
＝3，在边AB上取点P,若△PAD与△PBC相似，则AP长为多少.第三关斜A型、斜X型★★★★☆☆Level4本关进步目标
★★★☆☆☆你能掌握斜A型、斜X型相似的证明方法；★★★★☆☆你能识别出复杂图形中的斜A型、斜X型．★★★★☆☆识别关卡3-
1过关指南笔记1．常见的斜型有如下三种情形，如下图，已知，则由公共角得，△ADE∽△ABC；斜型斜型有公共边
的斜型斜型同一直线上的边满足公式：;（共直线的线段乘积相等）2．常见的斜型如下：已知，则由对顶角得，△ADE∽△ABC；，．例
题1.如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝2AD，AE＝3，则AC的长是________．2.如图，点P在线段AB上，∠A
CP＝∠B，AP＝2，BP＝3，则AC＝________.3.如图，点E是?ABCD的边AD上一点，且AE：ED＝3：2，连接
BE并延长，交CD的延长线于点F，若FD＝2，则CD＝________．Exercise1过关练习如图，在四边形ABCD中，A
D∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是________．如图，在?
ABCD中，点E是CD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F．若S△AEF＝2，则S四边形CDEF＝________
．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于___
_____．Exercise2如图，E是?ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G．（1）填
空：图中与△CEF相似的三角形有.（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似.Exercise3如图，△ABC
中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．（1）求证：△CAD∽△CBA；（2）若DE∥AC，BD＝10，DC＝8，
求DE的长．第四关相似三角形的模型★★★★☆☆Level4本关进步目标★★★★☆☆你能掌握公边共角模型；★★★★☆☆你能掌
握射影定理；★★★☆☆☆你能掌握一线三等角模型；★★★★★☆迁移关卡4-1过关指南笔记1、有公共边的斜A型：△ACD∽△AB
C，则；结论：，即公共边的平方等于公共角邻边之积；例题1．如图，在△ABC中，，点D在边上，若，则的长为．2．已知：在△ABC中
，，M是的中点，交于点E，交的延长线于点D，求证：；3．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交
于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE?DC＝AB?DE．．过关练习Exercise1在三角形纸片中，，按下
列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．Exercise2如图，四边形都是正方形．（1）
求证：△ADF∽△HDA；Exercise3如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，∠ADE＝∠C．（1）若∠1
＝65°，求∠2的度数．（2）若AD＝AB，BD＝10，CD＝12，CE＝14，求AE的长．第八章锐角三角函数本章进步目标★★★
★★☆Level5通过对本节课的学习，你能够：1．对锐角三角函数定义，达到【操作】级别；2．对同角、互余角三角函数关系，达到【操
作】级别；3．对三角函数增减性，达到【操作】级别；4．对解直角三角形，达到【迁移】级别。VISIBLEPROGRESSSYST
EM进步可视化教学体系第一关锐角三角函数的定义★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能熟记与运用三角函数定义求解。★★★☆☆☆操作关卡1-1笔记过关指南1．直角三角形中：角的关系：两个锐角互余边的关系：角与边的关系：三角函数2.三角函数的定义：对边邻边正弦(对/斜)余弦(邻/斜)正切(对/邻)注：①是的缩写，是的缩写，是的缩写；②一个角的三角函数是一个比值，没有单位；③三角函数值是一个角内在的属性，和角在什么地方无关；只是在直角三角形中，这个角的三角函数值得到外显；④，，都是一个完整的符号，单独的“”没有意义．其中前面的“”一般省略不写．例题1．在中，各边长度都扩大两倍，则锐角的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍2．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，用线段比表示，错误的是（）A．B．C．D．3．如图，是的边OA上一点，点的坐标为，则（）A．B．C．D．4．已知是函数与轴形成的锐角夹角，那么=_________．5．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点、、均在格点上，则的值是（）A．B．C．D．过关练习Exercise1已知是斜边边上的高，，，的值为（）A．B．C．D．Exercise2已知正比例函数的图象经过点，则它与轴所夹锐角的正弦值是（）A．B．C．D．Exercise3如图，的各个顶点都在正方形的格点上，则的值为_________．Exercise4如图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，、、是小正方形顶点，的半径为，是上的任意一点，且位于右上方的小正方形内，则等于（）A．B．C．D．第二关同角、互余角三角函数关系★★★☆☆☆Level3本关进步目标★★★☆☆☆你能掌握同角、互余角三角函数之间的转化与计算；★★★☆☆☆你能熟记特殊角三角函数值并计算。★★★☆☆☆操作关卡2-1过关指南笔记1．同角三角函数关系；．2．余角三角函数关系若，那么：；．．例题1．在中，，若，则的值是（）A．B．C．D．2．已知中，，，则的值是（）A．B．C．D．3．在中，，，则的值为（）A．B．C．D．Exercise1过关练习在中，，若=，则的值为（）A．B．C．D．Exercise2当时，下列结论错误的是（）A．B．C．D．★★★☆☆☆操作关卡2-2过关指南笔记特殊角三角函数值特殊角正弦余弦正切例题1．已知角、均为锐角，，则=__________2．如图所示，等边内接于，点是上任意一点，则的值为（）A．B．C．D．过关练习错题记录Exercise1已知在中，满足，、都是锐角，则的度数是__________．Exercise2计算：．第三关解直角三角形★★★★★☆Level5本关进步目标★★★★★☆你能运用三角函数解直角三角形；★★★★★☆你能熟练运用直角三角形解三角函数。★★★★★☆迁移关卡3-1过关指南笔记1．利用直角三角形的已知条件求出所有未知条件的过程叫做解直角三角形。2．直角三角形可解的条件：（1）两边：直角边+斜边；直角边+直角边（2）一边一角例题1．如图，在中，斜边，若∥，，则（）A．点到距离为B．点到距离为C．点到距离为D．点到距离为2．如图，在中，，，，则的长为_________．3.如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长是（）A．B．C．D．4．在中，，点为直线上一点，且，直线与直线所夹锐角的正切值为，并且，则的长为_________．过关练习Exercise1如图，在中，斜边，若∥，，则下面四个结论：①点到的距离为；②点到AO的距离为；③点到的距离为sin36°?sin54°；④点到的距离为．其中正确的是___________________．Exercise2在四边形中，，，，，．则的长=___________________．Exercise3如图，为正方形，为上一点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若，求的值．ABPO4.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.30°O45°BAP5.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.6.某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）7.已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)一元二次方程★★★★★☆level5U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATIONVISIBLEPROGRESSSYSTEM144VISIBLEPROGRESSSYSTEM6 |
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