《§24.1.2垂直于弦的直径》讲学稿
【授课教师】
【教学目的】
知识与技能
1.理解圆的轴对称性．
2.掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关证明、计算问题．
过程与方法
1.积极引导学生通过观察、折叠等数学活动探索定理，在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
情感态度与价值观
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点教育，结合应用问题向学生进行爱国主义教育．
【教学重点】
垂径定理及其运用
【教学难点】
探索垂径定理，并运用垂径定理解决一些实际问题．
【教学过程】
一、创设情境
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
在自己的圆中作图任意作一条弦AB；过圆心作AB的直径CD，交AB于E．几何符号语言：∵CD是直径（CD过圆心），CD⊥AB于E，
∴AE=BE，＝，＝
这个定理可以理解为：
一条直线若满足：⑴过圆心；⑵垂直于弦，则可以推出：⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧．
三、巩固提高
〖题组一〗基础训练
1.如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为在圆中，解决有关弦的问题，常常需要作“垂直于弦的直径”为辅助线．实际上，往往只需要过圆心作弦的垂线段即可．过O作OE⊥AB，垂足为E，连结OA．
则OE＝3cm，．
∵AB＝8cm
∴AE＝cm．在Rt△AOE中，
OA＝＝＝cm．
∴⊙O的半径为cm．
若⊙O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OE的长为6则弦AB的长为．表示，半径用表示，弦长用表示，这三者的关系为．
小结：此类问题可以转化为直角三角形求解．辅助线作法的七字口诀如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是，C是，C是．
则AB＝，CD＝，
∴AD＝，
OD＝．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即解得（m）．
因此，赵州桥得主桥拱半径约为m．
P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”、圆心到弦的距离、半径、弧的中点到弦的距离之间的关系为
．
五、布置作业
必做题：课本P.88习题24.18，10．
选做题：课本P.88习题24.19.
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A
B
C
D
E
.
O
⌒
AC
⌒
BC
⌒
AD
⌒
BD
A
B
O
.
E
⌒
AB
⌒
AB
⌒
AB
A
B
O
D
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C
P
.
O
.
1题图
2题图
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O
A
B
D
E
C
E
A
B
C
D
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O
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