目录
第一讲全等三角形提高 -1-
第二讲全等三角形强化及角平分线 -8-
第三讲等腰三角形 -14-
第四讲勾股定理 -21-
第五讲平行四边形 -26-
第六讲特殊的平行四边形（一） -32-
第七讲特殊的平行四边形（二） -37-
第八讲梯形 -43-
第九讲梯形中的辅助线及中位线定理 -47-
第十讲一次函数 -52-
第十一讲反比例函数 -58-
第十二讲分式方程 -64-
第一讲全等三角形提高
【中考考情】
1、全等三角形在中考中考察很灵活，各种题型都有可能出现
2、找出几何图形中的全等三角形，然后在利用全等三角形的性质是压轴题的常考方式
【知识要点】
1、全等形：能够重合的两个图形叫做全等形全等形全等
考点1、全等形的概念
例1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？
（l）形状相同的两个图形叫全等形（2）大小相等的两个图形叫全等形（3）能够完全重合的两个图形叫全等形变式1：如图中有6个条形方格图，图中有哪些实线围成的图形是全等的？
变式2:全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，且点A与A1对应，点B与B1对应，点C与C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形,如图:
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180°，在下图中的各组合三角形中，是镜面合同三角形的是（）
考点2、两个三角形全等的性质
例2：图中所示的是两个全等的五边形，指出它们的对应顶点、对应边与对应角并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．
变式1：如图所示的是三个全等的四边形，请指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并写出图中标的a，b，c，d，α，β，γ各字母所表示的值．
变式2：如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
变式3：如图,≌，BC的延长线交DA于F，交DE于G,,,求、的度数.
考点3、两个三角形全等的判定
证题的思路：
例1：如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝DF（4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）
Ａ．（1）（5）（2）Ｂ．（1）（2）（3）Ｃ．（4）（6）（1）Ｄ．（2）（3）（4）
变式1：如图，四边形中，垂直平分于点．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形说明理由．
变式2：已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。
变式3：已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。
变式4：如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
求证：①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
小结：在以上例变式练习中，可归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它．
1、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
2、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCE
3、如图，在ΔABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，说明：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°
4、如图，正方形ABCD中点P是边AB上的一个动点，且CQ=AP，PQ与CD相交于点E，当P在边AB上运动时，
试判断△PDQ的形状并证明。
第二讲全等三角形强化及角平分线
【中考考情】
在尺规作图中，常考作一个叫的角平分线，要求保留作图痕迹。
2、很少单独考角平分线的性质，一般都是与几何题结合起来一起考察
【知识要点】
1、角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
2、角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
【例题解析】
全等三角形题
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等因此我们可以来采取逆思维的方式来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
为折痕，求的度数
变式1：如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：AD=AE
变式2：沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD,A/D交BC于F,如图所示,△BDF是何种三角形？请说明理由.
例2：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。
变式1：如图20所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.
变式2：如图所示,已知△ACB、△FCD都是等腰直角三角形,且C在AD上,AF的延长线与BD交于E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.
一般在判定三角形全等时，我们可以用到以下解题技巧：
（1）综合法：由已知条件出发，根据正确的定义、定理逐步说理得出结论的方法（思维：顺向而行）
（2）分析法：从结论出发，利用已学过的定理，定义或法则为依据，逐步逆推,朝已知条件靠拢，直至达到已知条件。（思维：逆向思维）
（3）分析综合法：在数学学习中，要灵活把握综合法和分析法两种思维方法
用分析法探索思路寻求解法
用综合法进行有条理的表述
（先分析后综合；边分析边综合）
考点2、角平分线性质定理
例3：如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D.
试证明OC=OD．
变式1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，求AB的长．
ABC中，∠ACD=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E求证：AD⊥CE
变式3：已知：(ABC中，(B和(C的平分线相交于D，过D作BC的平行线交AB,AC于E，F求证：EF=BE+CF
考点3、角平分线判定定理
例4：如图，BD=CD，。求证：点D在的平分线上。
变式1：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
【课后作业】
1、(1)如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
(2)如图，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_________cm.
2、如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
3、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC
5、已知如上右图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点
求证：（1）AD∥BC（2）AF=BF．
第三讲等腰三角形
【中考考情】
1、等腰三角形的性质可以单独考察，也可以综合考察，一般出现在7分题和9分题中。
2、等腰三角形中最常用的辅助线（三线合一）是解题的关键，腰和底的分情况讨论是易错点。
【知识要点】
1、等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等。
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
2、等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、等边三角形
定义：三条边都相等的三角形性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。【例题解析】
考点1、等腰三角形的性质
例1：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。
【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论。
变式1：如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。
变式2：已知：如图，中，于D。求证：。
变式3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD．请思考：
（1）若在CD上截取DE=DB，连结AE，如何证明．
（2）若延长CB到E，使BE=AB，连结AE，是否可以证出结论．
4和9，则它的周长是．
（2）等腰三角形的顶角是40°，则它的底角度数是.是..
（5）若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为．
（6）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为.
考点2、等腰三角形的判定
例2：如图所示，AD＝AE，BD＝CE，B、D、E、C在同一线上，试判断△ABC的形状，说明理由．（用两种不同的方法证明）
变式2：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A.6个B.7个C.8个D.9个
变式3：如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，试判断的形状，并说明理由．
考点3：等边三角形如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求证：△BCE≌△ACD．△BCF≌△ACH
变式2：如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
变式3：如图，在ΔABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，说明：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°
本节知识可以归纳为：
等腰三角形
【课后作业】
1、下列说法中，正确的有()
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个B．2个C.3个D．4个
2、如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是()
A．等边三角形D．等腰三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形
3、在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，－2)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有()
A．2个D．3个C．4个D．5个
4、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()
A．(1)(2)(3)B．(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)
5、已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm．
6、三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．
7、如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______．
(第7题)
8、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______．
9、如图，∠ABD=∠ACD=60o，∠ADB=90o-1/2∠BDC。求证：△ABC是等腰三角形。
第四讲勾股定理
【中考考情】
1、勾股定理解直角三角形一般出现在6分题或者是7分题中，而且以常见直角三角形为主。
2、考察知识点主要以解三角形，判定直角三角形为主。
【知识要点】
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
表达形式：在中，的对
边分别为，则有：①；②；③．
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形。
勾股数：
（1）满足的三个正整数，称为勾股数．
（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数。
（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③88、15、17；④7、24、25；
⑤10、24、26；⑥9、40、41．
【例题解析】
考点1、勾股定理
例1：已知直角三角形ABC中，∠C=900，AB=10，BC=6，求AB边上的高。
变式1：直角三角形的两直角边为6、8，则斜边上的高等于。
变式2：直角三角形的两边长为5、12，则另一边的长为。
变式3：如图，已知△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9，AC=7，BC=8，求DE的长。
变式4：如图折叠长方形的一边BC，使点B落在AD边的F处，已知：AB=3，BC=5，
求折痕EF的长．
变式5：如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
考点2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件）
例2：判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
（1）9、41、40；（2）5、5、5（3）、、；
（4）、、（5）、、
变式1：如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm。
求证：△DEF是等腰三角形。
变式2：如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。
求△ABC的面积。
变式3：如图，和都是等边三角形，，试说明：
变式4：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。
（1）证明：是直角三角形；
(2)若BE=12,CF=5，试求的面积。
归纳总结：利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
①先找出最大边（如c）
②计算与，并验证是否相等。
若=，则△ABC是直角三角形。
若≠，则△ABC不是直角三角形。
【课后作业】
1、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理?
2、如图，四边形ABCD，已知∠A=90°，AB=3，BC=13，CD=12，DA=4。求四边形的面积。
3、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长
4、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠部分△AFC的面积是多少？
第五讲平行四边形
【中考考情】
1、四边形这章内容是中考中的重点内容，常与函数结合起来出现在压轴题当中。
2、学好本节的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，这为解9分题做准备。
【知识要点】
1、多边形：（1）多边形的内角和：多边形内角和等于
（2）多边形的外角和：多边形外角和等于360°
（3）常用结论：过n边形的一个顶点共有(n－3)条对角线，n边形共有条对角线；过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形。
2、平行四边形性质：
平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”1）六边形共有（）条对角线.
2）一个多边形内角和为540°，则其边数为（）.
任意多边形的外角和为（）度.一个凸多边形内角和900°，则这个多边形边数为（）条.
考点2、平行四边形的性质
例2：已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
变式1：已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
变式2：如图12-1,平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,周长等于24.
求:平行四边形ABCD的边长.
变式3：如图12-11,在平行四边形ABCD中,D在AB的垂直平分线DE上,若四边形ABCD的周长为38cm,△ABD的周长比四边形的周长少10cm.
求:平行四边形ABCD各边的长.
变式4：如图，在中，为边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若平分，，求的度数．
考点3、平行四边形判定
例3：已知，如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
变式1：已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．
求证：∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
变式2：如图，已知⊿DAB，⊿EAC,⊿FBC都是等边三角形，求证：四边形DECF为平行四边形。
变式3：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，AE=CF，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：EF与GH互相平分。
归纳总结：
1.学过本节内容后，应掌握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆：
（1）从边看；（2）从对角线看；（3）从角看。
2.了解平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．
3.平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容。
【课后作业】
一、选择题
1.如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）
2.如图2，在ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）
A.7个B.8个C.9个D.11个
二、填空题
1、在平行四边形ABCD中，若∠A－∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______，
∠C=_______，∠D=_________．
2、在ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，则AB=________，BC=_________．
3、如图9，ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度。
三、解答题
1.如图11，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和。
2.已知如图12，在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由。
3.如图13，ABCD中，BDAB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD的长．
第六讲特殊的平行四边形（一）
【中考考情】
特殊平行四边形是中考的必考题，常出现在7分题和9分题当中，以特殊的四边形为框架来开综合考察几何代数知识。
特殊四边形的性质比较多，难点在于选择有用的条件。
【知识要点】
特殊平行四边形的性质：
１、菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等。
（2）角的性质：对角相等，邻角互补。
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。
（4）对称性：是轴对称图形，有两条对称轴．也是中心对称图形。
2、矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
（1）边的性质：对边平行且相等。
（2）角的性质：四个角都是直角。
（3）对角线的性质：两条对角线互相平分且相等。
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．也是中心对称图形称。
正方形
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等。
（2）角的性质：四个角都是直角。
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。
【例题解析】
考点1、菱形的性质
例1：已知，如图，菱形ABCD中∠B=60°；E,F在边BC,CD上，且∠EAF=60°；
求证：AE=AF.
变式1：如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数。
考点2、矩形的性质
例2：如图，已知矩形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，使C落在C’处，BC’边交AD于E，AD=4，CD=2
（1）求AE的长（2）△BED的面积
变式1：如图，矩形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D与点B重合，折痕为EF
求DE和EF的长。
变式2：已知：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，求：∠BOE.
考点3、正方形的性质
例3：如图1，两个正方形的边长均为1，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重合部分的面积为__________。
变式1：如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30°，至正方形
AB′C′D′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．
变式2：已知，如图，在正方形ABCD中，AC．BD相交于点O，E．F分别在OB．OC上，且OE=OF．求证：AE⊥BF．
变式3：如图，在正方形ABCD中，H在BC上，EF⊥AH交AB于点E，交DC于点F.若AB=3，BH=1，求EF的长。
【课后作业】
1、下列四边形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且有四条对称轴的是（）．
A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．正方形．
如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）．
A．36o；B．18o；C．27o；D．9o．
如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB,则∠EBC＝_________．
如图，正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，AE与CD交于点F，则∠AFC=_________．
第6题图第7题图第8题图
5、已知：如图，正方形ABCD，AE+CF=EF。求证：EDF=。
6、已知：如图，矩形ABCD中，AE=CD，AB=2AD，求：EBC的度数。
第七讲特殊的平行四边形（二）
【中考考情】
1、特殊平行四边形的判定在中考中考察比较灵活，各种题型和层次都有可能。
2、当特殊四边形的判定出现在9分题中时，要根据已知条件灵活选用判定方法。【知识要点】
矩形
矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）对角线相等的平行四边形是矩形．
（3）有三个角是直角的四边形是矩形．
2、菱形
菱形的判定：
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
正方形
正方形的判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）对角线相等的菱形是正方形。
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。
平行四边形与特殊平行四边形的关系：
【例题解析】
考点1、矩形的判定
例1：已知点E为□ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥DE，求证：□ABCD是矩形．
变式1：已知，如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、BC分别交于点O、E、F。
（1）求证：四边形AFCE是菱形。
（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值。
变式2：已知，如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
考点3、正方形的判定
例3：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是边AB、CD的中点，AF与DE交于点H，BF与CE交于点G。
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）试问：当平行四边形ABCD的边满足何条件时，四边形EGFH是正方形？
变式1：已知：如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正
方法总结：（1）矩形和菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法．第八讲梯形
【中考考情】
1、中考中一般会考一道与梯形有关的题型，一般是7分题，难度中等的几何题。2、经常考察等腰梯形及直角梯形为背景，来进行线段长度及角度的计算或者是证明题。
【知识要点】
梯形
（1）梯形定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形。
特殊的梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形。
（2）证明一个四边形是梯形的方法：
①证明它的一组对边平行,并且另一组对边不平行；
②证明它的一组对边平行并且不相等。
等腰梯形
（1）等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（2）等腰梯形的判定：
①先证明它是梯形,再证明一组对边不相等；
②先证明它是梯形,再证明同一底上的两个角不相等；
③先证明它是梯形,再证明两条对角线不相等。
等腰梯形的性质：
①等腰梯形在同一底上的两个角相等
②等腰梯形的两条对角线相等
③等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的一条直线
3、直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
【例题解析】
考点1、梯形
例1：如图:，已知在梯形ABCD中，AB//CD,DE//BC,点E在AB上且BE＝4，△AED的周长是18，求梯形ABCD的周长.
变式1：如图：梯形ABCD中，对角线AC，BD相交点O，那么△AOB和△COD的面积相等吗？
变式2：如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠BOC=120°，AD=4，BC=8，求：梯形面积
变式3：如图，在梯形中，，平分，，交的延长线于点，．求证：；
考点2、等腰梯形
例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD＝AB,BD⊥CD,求：∠C的度数.
变式1：已知在△ABC中，A⊥BC于，E、F、分别为AB、A的中点．求证：四边形EFH为等腰梯形．
ABCD中，AD//BC,BA＝CD,E是AD延长线上一点，CE=CD.
求证：∠B=∠E.
考点3：直角梯形
例3：如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，中位线EF长为3cm，⊿BDC为等边三角形，求梯形的两腰AB、DC的长及梯形的面积。
变式1：如图，在直角梯形中，则cm．
变式2：已知直角梯形中，，，，是的中点．
（1）求证：四边形是正方形．
（2）求的度数．
变式3：直角梯形的两腰的比为1：2，则它的锐角等于__________度．
【课后作业】
填空题
1.直角梯形的上底是6，下底是10，高为3，则梯形的周长为___________。
2.梯形的两底分别为6和3，两腰长分别为5和4，则梯形的面积是___________。
3.等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别是15，49，则腰长为____________。
4.若梯形的上、下底分别是3和7，一腰长为4，则另一腰长的取值范围是____________。
5.等腰梯形上底为6，下底为8，高为，则腰长为___________。
二、选择题
1.等腰梯形ABCD的两条对角线相并于点O，则其中全等三角形有（）
A、1对B、2对C、3对D、4对
2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC周长为（）
A、3B、12C、15D、19
3.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能是（）
A、1：1：2：2B、1：2：2：1C、2：1：2：1D、1：2：1：2
4.等腰梯形的一个内角为120°，则高与腰长的比为（）
A、1：2B、2：1C、1：D、：2
5．如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（）
（A）平行四边形；（B）梯形；
（C）对角线相等的四边形；（D）对角线垂直的四边形．
第九讲梯形中的辅助线及中位线定理
【中考考情】
1、往往几何题都需要通过辅助线来解题，而梯形中的辅助线做法多样，需要根据条件及结论来选择。
2、中位线是梯形及三角形中常用的辅助线，出现中点，则作中位线的可能性很大。
【知识要点】
常用的梯形中的辅助线
平移、作梯形的高、平移对角线、作中位线、延长
中位线概念及定理
（1）中位线概念：
①三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
②梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
中位线定理：
①三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
②梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
考点1、梯形中常用的几种作辅助线的方法
（1）平移一条腰（移腰法）
如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，作BM∥AD,则：
①梯形ABCD被分成一个三角形和一个________________形，
②∠ADM=∠____,DM=_____,BM=_____,两底之差DC-AB=_______.
③若AD=BC，DC－AB=BC，则ΔBMC是______三角形,∠A=_______度.
④若AD=4，DC=7，AB=2，则BM=____,MC=____,BC的长度的取值范围是_____
（2）作梯形的高（作高法）
如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，作AE⊥BC，DF⊥BC，则:
①梯形ABCD被分成两个直角三角形和一个______形。
②AE=_____,下底BC=AD+____+______.
③若梯形ABCD是等腰梯形，则BE=_______,下底BC=AD+2____.
④若AD=3cm,AB=4cm,∠B=600,∠C=450,则BE=_______cm,
AE=______cm,DF=____,CF=_____cm,梯形ABCD的周长是__________cm,面积是_______cm2。
（3）平移对角线
如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则:
①四边形ACED是___________形，DE=____,BE=AD+_____;
②∠ACB=∠______,∠BDE=∠______;
③若AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm，则DE=___cm,BE=____cm,AD+BC=____cm,梯形ABCD的面积为_____.
[提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线的长度的积的一半]
（4）连结并延长上底的一个端点与腰的中点的连线
如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰DC的中点，连结AE并延长AE，与BC的延长线交于F，则ΔAED≌Δ______,AE=_____,AD+BC=______.
（5）延长两腰交于一点
如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
（5）
考点2、中位线的概念及定理
例1：已知图，在梯形ABCD中AD∥EF∥BC，AE=EB，EM∥C且EM=3.5cm，则DF=．
已知图，ABC是等边三角形，F⊥AB，EF∥DC，AE=3.5cm，则AD=．
变式2：如图，已知四边形ACBD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
变式3：如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，DE⊥BC于E，试求DE的长．
变式4：如图，在等腰梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点。
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，梯形ABCD的高与底边BC有何关系？
【课后作业】
1、已知：如图，ABCD中E、F分别为AB、DC中点，AF、EC交BD于M、N，求证：BM=MN=ND．
2、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
3、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。
第十讲一次函数
【中考考情】
1、一次函数东莞考察分值6分左右，常出现在解答题当中，与其它知识点结合起来考察。
2、解答题中常考用待定系数法求一次函数的解析式及将点的坐标代入函数解析式当中来求相关量。
【知识要点】
与函数相关的基本概念
变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
函数的图像:一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
2、正比例函数及性质
定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
性质：
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
性质：
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向和增减性：
b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y随x的增大而减小
考点1、与函数相关的基本概念
例1：（1）在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______.
（2）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
A．y=B．y=C．y=D．y=·
变式1：在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
变式2：函数中自变量x的取值范围是___________.
变式3：中，自变量x的取值范围是.
考点2、正比例函数图象及性质
例2：若关于x的函数是正比例函数，则m=，n.
变式1：正比例函数，当m时，y随x的增大而增大.
变式2：函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是()
A.B.C.D.
变式3：是正比例函数，则m=。
变式4：写出一个函数解析式，满足：函数的图象经过（-1,2），且y随x的增大而减小。
变式5：已知y-3与x成正比例，且当x=2时，y=7，求y与x的函数解析式。
考点3、一次函数及性质
例3：下列函数中，是一次函数的是。
①；②；③y=x；④y=-x-1；⑤；⑥
变式1：已知函数，当m时，它是一次函数，当m时，它是正比例函数。
例4：直线y=2x-4与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是。
变式1：已知直线y=(a+2)x-4a+4，当a=时，直线经过原点，当a=时，直线与y轴交于点（0，-2）。
变式2：已知点A（a+2，1-a）在函数y=2x-1的图象上，则a=。
变式3：已知一次函数和的图象都经过点A（-2，0），且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积。
变式4：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
例5：一次函数的图象与直线y=2x-3平行，且过点（-2，1），则这个一次函数的解析式为。
变式1：y=(1-m)x+7与y=(2m-5)x-1的图象平行，则m=。
变式2：把直线y=-2x沿y轴向下平移1个单位，所得的直线是。
变式3：将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.
例6：函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）
变式1：若m＜0,n＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
变式2：y=2x+b的图象经过第一、三、四象限，则b0。
变式3：如果一次函数y=kx+(k-1)的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是。
例7：一次函数y=kx=b的图象与x轴、y轴的交点分别为（4，0）（0，-4），求此一次函数的解析式。
变式1：直线y=kx=b经过点（1，2），且与y轴的交点纵坐标是3，则这个一次函数的解析式为？
变式2：一次函数的图象与y=2x+1的图象的交点的横坐标为2，与y=-x+2的图象的交点的纵坐标为1，求此一次函数的解析式。
例8：一次函数图象与x轴、y轴分别交于（2，0）、（0，1），则当y>0时，
变式1：已知函数y=-x+1，当时，则。
变式2：二元一次方程组的解集是，则直线y=2x-1与直线y=x+2的交点坐标是。
例9：工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．生产A，B两种产品获总利润是(元)，其中一种的生产件数是，试写出与之间的函数关系式，并说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
【课后作业】
1、下列各图象中，y不是x的函数的是（）
2、y=(1-m)x+7与y=(2m-5)x-1的图象平行，则m=。
3、一次函数y=-2x+4和一次函数y=x+6的图象的交点坐标，即为二元一次方程组
的解。
4、若y-2与x+1成正比例，且当x=0时，y=4，求y与x的函数解析式。
5、已知函数y=kx+3与y=mx的图象相交于点P（2，1），求图中阴影部分的面积。
6、Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，怎样调运花钱最小?
第十一讲反比例函数
【中考考情】
反比例函数的命题放在各个位置都有，最常出现在7分题，突出考查学生的数形结合思想等，且与一次函数结合起来考察。
2、本节重点是掌握反比例函数的图象及性质，难点是理解反比例函数的概念
、反比例函数的图象及性质的运用。
【知识要点】
反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。
2、反比例函数的图象及性质
反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题：
（1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。
（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质
的变形形式为（常数）所以：
（1）其图象的位置是：
当时，x、y同号，图象在第一、三象限；
当时，x、y异号，图象在第二、四象限。
（2）若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，在每个象限内，y随x的增大而增大；
3、反比例函数解析式的确定。
（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。
（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：（）；②根据已知条件，列出含k的方程；
③解出待定系数k的值；④把k值代入函数关系式中。
5、反比例函数综合
【例题解析】
考点1、比例函数的基本题
例1：在函数中，自变量x的取值范围是（）。
A、x≠0B、x≥2C、x≤2D、x≠2
变式1：反比例函数图象上一个点的坐标是。
变式2：若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（）
A、－1或1B、小于的任意实数C、－1Ｄ、不能确定
考点2、反比例函数的图象
例2：根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）。
?
?
?
?
变式2：已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是（）
A、正数B、负数C、非正数D、不能确定
变式3：正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（）
考点3、反比例函数图象的面积与k问题
例3：反比例函数（k(0）在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任一点，PQx轴，设POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（）A．B．C．S=kD．S(k
P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A平行于x轴，PA与P’A交于A点，则的面积（）
A．等于2 B．等于4 C．等于8D．随P点的变化而变化
变式2：如图，A、B是反比例函数y＝的图象上的两点。AC、BD都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE的面积与ΔACE的面积的比值是（）
A．B．Ｃ．D．
变式3：反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，
MP垂直轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么的值是；
考点4、利用图象，比较大小
例4：已知三点，，都在反比例函数的图象上，若，，则下列式子正确的是（）
A．B．C． D．
变式1：在函数y=(k<0)的图像上有A(1,y)、B(－1,y)、C(－2,y)三个点，则下列各式中正确的是（）
(A)y
考点5、综合考察
例5：如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，-3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，-4），且与反比例函数的图象相交于另一点B.
试确定这两个函数的表达式；
变式1：如图，已知点A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数的图象上，直线AB与ｘ轴交于点C，
（1）求n值
（2）如果点D在x轴上，且DA＝DC，求点D的坐标.
【课后作业】
1、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（）
A<0，>0 B>0，<0 C、同号 D、异号
2、若点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数的图象上的点，并且x1＜x2＜，则下列各式中正确的是（）
A、y1＜y2B、y1>y2C、y1=y2D、不能确定
3、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为；
4、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是；
5、对于函数，当时，y的取值范围是____________；当时且时，y的取值范围是y______1，或y______。（提示：利用图像解答）
6、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，
AB⊥轴于B且S△ABO=
（1）求这两个函数的解析式
（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC的面积。
第十二讲分式方程
【中考考情】
1、分式难点主要放在分式方程及分式方程应用题中来考察，一般是6分题解分式方程，或者7分题的应用题。
2、分式的性质及分式方程的解法为重点考察点。
【知识要点】
分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
（1）分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】
（2）分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
（3）分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0即子零母不零】
2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（1）分式的基本性质：
2）分式的变号法则：
例下列代数式中：，是分式的有： .
当有何值时，下列分式有意1） （2） （3）
当取何值时，下列分式的值为0.
（1） （3）
变式3：（1）当为何值时，分式为正；
（）当为何值时，分式为非数.
不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1） （2）
不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1） （）
已知：，求的值.
若，求的值.
，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值．
考点3、分式的运算
1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
将下列各式分别通分.
（1）；（2）；约分（1）（）.
计算
（1）； （）；
；（2）
变式1：解下列方程
（1）；（2）
考点5、分式方程的应用
例5：A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
变式1：甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
初二复习教材
-3-
A
B
C
D
E
F
A
B
D
C
O
F
E
A
C
D
B
F
E
O
D
C
B
A
F
E
D
C
A
B
G
H
A
E
D
C
B
G
F
E
D
C
A
B
D
A
B
C
P
E
Q
A
E
C
B
A′
E′
D
B
C
D
F
A
E
D
A
E
F
B
C
C
A
B
A
C
D
E
B
A
E
B
C
D
F
D
E
F
G
A
B
C
D
C
第1题图
A
B
C
D
第2题图
A
B
C
D
F
D/
A
B
C
D
E
F
C
D
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
C’
A
D
C
F
B
E
A
D
E
C
B
E
C
D
B
A
O
图
A
B
C
D
E
F
G
DC
AEB
D
A
B
C
O
H
F
E
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
A
B
C
D
E
p
v
O
p
v
O
p
v
O
p
v
O
A
B
C
DD
o
x
y
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
O
P
M
O
y
x
B
A
C
|
|
