1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质杨辉三角杨辉《九章算术》(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：(a＋
b)111(a＋b)2121(a＋b)31331(a＋b)414641(a＋b)5151010
51(a＋b)61615201561[问题1]你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？[提示1]在同一行
中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．[问题2]计
算每一行的系数和，你又看出什么规律？[提示2]2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.知识点一杨辉三角的特点1.在同
一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数.2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即＝
.相等和知识点二二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“”的两个二项式系数相等，即＝_____增减性与最
大值增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数
最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值等距离各二项式系数的和??2n2n－1一、与杨辉三角有关的问题
例1(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是A.第6行 B.第7行C.第
8行 D.第9行反思感悟解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.(2)
然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.二、二项式
系数的性质例2已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求n；(2)求展开式中二项式系
数最大的项.反思感悟二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时
，中间两项的二项式系数最大.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)已知展开式中的第4项是常数，则展开式中系数最大的项是
A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第8项和第9项三、二项式系数和的应用例3已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…
＋a5x5，求下列各式的值：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3
＋a5.反思感悟(1)赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组
值，解决问题时要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数
和为跟踪训练3在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和.随堂演
练1.(2x－3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为2.(1＋x)2n(n∈N)的展开式中，系数最大的项是3.(2x－1)6
展开式中各项系数和为m，二项式系数和为n，则m＋n的值为A.129 B.65 C.63 D.334.如图是一个
类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________.5.(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a
8＝____.课堂小结1.知识清单：(1)杨辉三角的应用.(2)二项式系数的性质.(3)二项式系数和的应用.2.方法归纳：数形结合
法、赋值法.3.常见误区：易将二项式系数和项的系数混淆；利用赋值法求二项式系数的和导致错误.C＋CCCC②C＋C＋C＋…＝C＋C＋
C＋…＝_____①C＋C＋C＋…＋C＝___n跟踪训练2(1)已知n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n＝___.[f
(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0).A.第＋1项B.第n项C.第n＋1项D.第n项与第n＋1项A.210B.29C.D. |
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