12.3.1等腰三角形
教材新人教版八年级上册第十二章第三节等腰三角形的第一课时
一、教材的地位和作用
等腰三角形的性质是新人教版八年级数学第十二章第三节的内容。它是安排在学生学习了全等三角形的判定和性质与轴对称的性质的基础上进行的。主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”两个性质。本节内容既是前面知识的深化和应用，也是后面研究等边三角形等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等，线段相等，及两直线垂直的重要依据。本节课所倡导的观察-试验-猜想-论证是今后研究数学的基本方法。因此，本节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都有着十分重要的作用。
根据这节课的重要程度和我所教学生的实际情况，等腰三角形的性质我安排两个课时，第一节课主要是性质的探究和简单应用。第二课时则是进行强化训练，进一步提高学生应用性质解决问题的能力。
二、学情分析
本节课之前学生系统的学习了三角形和全等三角形及轴对称的有关知识，有一定知识储备。八年级学生的好奇心强，思维活跃，表现欲强，且对实际操作有浓厚兴趣，这都为探究学习提供前提条件。
三、教学目标
知识技能：经历探索等腰三角形性质的过程，理解等腰三角形的性质。
初步应用等腰三角形的性质解决生活中简单的实际问题。
数学思考：通过观察等腰三角形的对称性，发展学生的形象思维，培养学生观
察、分析、归纳问题的能力。
经历证明等腰三角形的性质的过程，体会证明的必要性，发展合推理能力和初步的演绎推理能力
教学难点
等腰三角形性质的证明
突破难点策略：通过创设具有启发性的问题情境，以及组织好合作学习，小组成员互相帮助，共同找出解决问题的策略。
五、教法与学法
教法分析
新课标和新的理念认为，获得数学知识的过程比获得知识更为重要。因此，按照学生认知规律，遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，采用了采用开放式、探究式的教学方法进行教学。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。让学生从中去观察、探索、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法。 师生活动 设计意图 创设情景、引入课题
介绍在韶关召开的广东国际旅游文化节的情况。让学生观看旅游景点短片。
你发现下面几张韶关景点
图片中有哪种熟悉又美观的特殊三角形？
问题与情景
学生欣赏自己身边熟悉的景点。发现里面的等腰三角形。
师生活动
展示我们身边的景点图片，让学生感受到我们生活中处处都有数学。让学生感知等腰三角形的对称美，唤起学生的学习兴趣和探索欲望。
设计意图
温故而知新
你对等腰三角形有哪些认识？
请学生自己画出一个等腰三角形，并结合自己的图形，指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
知道等腰三角形各元素名称，为进一步的学习和探究活动做准备。 二、动手操作、探索新知
做一做：请用长方形纸片制作出一个等腰三角形，并和同伴交流制作方法。
折一折：请把等腰三角形纸片对折，找出重合的线段和角，并将它们填入下表：
重合的线段
重合的角
猜一猜：由这些重合的线段和角，猜想等腰三角形的性质。(小组合作交流)
猜想一：等腰三角形的两个底角相等。
学生可能较难猜想出等腰三角形的三线合一。为了解决这个问题，我设计了以下几个问题：
（1）折痕是这个等腰三角形的重要线段吗？
（2）它是等腰三角形的什么重要线段呢？请通过折纸验证你的结论。
（3）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段有什么关系？
猜想二：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
问题与情景 鼓励学生说出自己的制作方法。
1、根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就得到了两条“腰”；
2、可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形；
3、可能还有同学根据之前画出的图形，再依线条剪得。
这个剪三角形的过程也保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴，这也为后面发现等腰三角形的性质作准备。
本活动以四人小组合作的形式进行。合作小组活动规则：
1、有主记录员记录小组的结论；
2、定出小组的主发言人(其它同学可作补充)；
3、小组探究出的结论是什么?
4、说明你们小组所获得结论的理由。
师生活动 探索等腰三角形的性质是本节课的重点，通过创设问题和解决问题来突出重点。等腰三角形性质通过折纸实验来突破难点。
问题1：文字命题证明的步骤是什么？
问题2：用数学符号如何表达这个命题的条件和结论？
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=(C
问题3：如何证明两个角相等？
问题4：如何作辅助线构造两个全等的三角形？
等腰三角形常用辅助线的做法：
1、作顶角平分线
2、作底边上的高
3、作底边上的中线
证明猜想2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
可分解成下面三个方面来理解：
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角的平分线。
3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上中线，又是顶角的平分线。
学生先独立思考，然后再合作交流自己的证明思路。请一个学生上台板演证明过程。教师及时归纳总结等腰三角形的常用辅助线的做法。
教师板书性质一。同时让学生转化成图形及符号语言。指出这个性质也体现了一种重要的数学思想─转化的数学思想。即三角形中边相等与角相等的转化。定理的作用就是用来证明两个角相等。
教师让学生思考证明思路，再请学生上台讲解他的思维过程。放手让学生表达自己的思维方法，提高学生的语言表达能力。证明过程让学生课后完成。
师生共同板书性质2的文字、图形及符号语言。我指出这个定理只是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。那么腰上的高、中线和底角的平分线也互相重合吗？学生通过折纸或自己画图很快发现这样是不重合的。我也强调这个定理可以由一知三，为证明角相等、线段相等、两直线垂直提供依据。
性质的证明是本节课的难点，通过设计四个问题情境和发挥四人小组合作的力量，分散难点。
性质2的证明也是本节课的难点之一。为了突破难点，引导学生把猜想2分解成三个命题，然后让学生找出每个命题的已知、求证。
从探索到得出性质，让学生体会到观察、实验、猜想、论证是研究数学的一种基本方式。
实现本节课制定的教学目标：经历证明等腰三角形的性质的过程，体会证明的必要性，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。 问题与情景 .师生活动 设计意图 实际应用、体验成功
应用一：南华寺在重修时，工人师傅发现有的房屋顶是等腰三角形。师傅从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角形底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
应用二：我国特色民居建筑中，很多房屋顶木架外框是等腰三角形，如我们韶关始兴东湖坪的客家围屋。在搭建民居时，人们常在房屋顶搭建如图的等腰三角形框架，其中AB=AC,立柱AD⊥BC。已知BC=6m,∠BAC=120°,则∠B=°
BD=m。
让学生拿出课前制作好的等腰三角形模型。根据模型探究其中的道理。
学生独立完成本道题。请学生讲解自己的思路。
加深学生对等腰三角形三线合一的理解。也锻炼了学生的动手能力，提高了学生的思维，培养学生的应用意识。
让学生经历：实际问题─抽象成数学模型─解释和应用。巩固等腰三角形“三线合一”，培养学生的应用意识。
实现本节课制定的教学目标：掌握等腰三角形的性质，初步应用等腰三角形的性质解决相关的问题。
五、总结反思、课堂小结
本节课，学到了哪些概念和性质：
解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法：
理解的最好的地方：
不明白或还需要进一步理解的地方：
你游览过我们韶关哪些景点，有什么感受：
学生先填写自己的数学日记。然后和同伴进行交流。从中选取几篇精品日记展示，为程度不同的学生都提供展示自己的机会，使小结不流于形式，而更具有实效性。
通过对本节课的总结和反思，培养学生的归纳、反思能力。及培养学生热爱家乡的思想感情。
问题与情景 师生活动 设计意图 六作业布置、课后延伸
必做题：
1、等腰三角形“等边对等角”性质的证明，你采用的是哪种作辅助线的方法，请你用另外两种方法证明.
2、证明等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
3、课本第56页第4题
如如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=100°，∠B，∠C,∠BAD,∠CAD各是多少度？
选做题：
在上完等腰三角形的性质一课后，八年级（1）班数学兴趣小组的四名成员继续在探究等腰三角形的性质。
小明说：“我觉得等腰三角形两腰上的中线、高分别相等。”
小颖说：“我发现等腰三角形两底角的平分线相等。”
小威说：“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。”
小丽说：“等腰三角形底边上的高（中线、顶角的平分线）上任意一点到两腰的距离相等。”
你认为以上哪些说法是正确的，请选择其中一个你认为正确的结论进行证明。
巩固练习，独立完成.
作业第1、2题的布置是为了学生复习等腰三角形的性质。培养学生的复习习惯。第三题是两个性质的综合应用，巩固今天所学的内容。第四题是为学有余力的同学准备的，继续探索等腰三角形的其它性质，是本节课的延伸和拓展。培养学生的发散思维和逻辑推理能力。
分层布置作业，让“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。
七、评价分析
本节课的教学设计努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，开放学生的六官（眼、耳、嘴、脑、手、心灵），让学生在和谐、开放的探究氛围中获得知识、形成技能。
本节课我全程关注每一位学生的学习状态，一方面注意对学生探究活动的评价。一是学生在活动中的投入程度，二是学生在活动中表现出来的思维水平。另一方面利用学生课堂练习的反馈情况，评价学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，灵活安排教学细节，从而达到教学的预期设想。
8
A
C
B
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