教案设计
课题：24.1.2垂直于弦的直径
授课教师：
教材：人教版第24章第1节P80～P82页
一、教学目标：
1、知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。渗透类比、转化、数形结合等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。定理题设与结论的区分证明揭示了垂直于弦的直径和这条弦这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
教师引用教科书该章节的问题,
学生齐声朗读并简单了解赵州桥的历史背景。并让学生明确，通过本节课的学习，就可以轻松解决此难题。
学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美 活动3：猜一猜
请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（3）大胆猜想：你能用一句话概括这些结论吗？
教师利用教材80页的思考，提出问题，引导学生进行思考，并大胆猜想结论。
学生踊跃发言，不全面的由其他学生补充完善。
教师板书
通过设问，引导学生不断思考，积极探索。问题（2）（3）的设计是将结论由特殊推广到一般。这符合学生的认知规律。并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般。
活动4：证一证
1.你能证明你猜想的结论吗？证明需要利用圆的什么知识？
2.什么是垂径定理？其题设与结论分别是什么？
3.如何用符号语言表达这个定理？
定理中的“直径”改成“半径”结论还成立吗？
4.定理中的“弦”改成“直径”结论还成立吗？
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，可利用几何画板从动态的角度演示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画，引导学生一步步地进行归纳、论证和总结。
本次活动中，教师应重点关注：
1.学生是否理解垂径定理条件中的“直径”是指过圆心的直线，但在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦的结论。
2.学生是否能理解垂径定理中的“弦”为直径时，结论照样成立。
3.学生是否理解一条直线具有2个条件：
①经过圆心；②垂直于弦
即可得到3个结论：
①平分弦
②平分弦所对的劣弧
③平分弦所对的优弧
学生在教师的指导下完成证明，通过证明、验证猜想的正确性，培养学生推理能力和科学严谨的治学态度，让学生感受数学结论的确定性和证明的必要性。
用运动变化的观点来研究问题，在运动变化的过程中寻找不变的关系。
活动5：议一议
请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使直径CD平分弦AB
1.直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
2.你能用一句话总结这个结论吗？（即推论）
3.如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
4.对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 教师引导学生进行比较、探究，并组织学生分组讨论，统一认识，最后由学生代表发言,与全班同学分享、交流。
本次活动中，教师应重点关注：
1.学生是否能理解垂径定理与其推论之间的联系和区别。
2.学生是否注意到推论中的“平分弦”为条件时，一定不能是直径。
3.学生是否正确认识推论中的直径是指“过圆心的直线”。
4.学生是否能初步得出结论：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
由于时间限制，可让学生将得出的其它推论选择其中一个加以论述，而其它的命题则引导学生在课下完成。 学生通过类比垂径定理的研究方法，自然地猜想出垂径定理的推论，再加以证明，学生自己讨论得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。
数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学。由垂径定理可拓展出多个推论，因而给学生交流讨论的时间，可以使他们的思维互补，更大地激发创造性，同时也培养了学生的合作精神。
选择重要推论在课堂上证明，其它的作为课下研究的课题，可以调动学生的研究兴趣。也使课堂学习得到延伸。
活动6：练一练
A组题：
1.如图，是⊙O的弦，于C，若，，则⊙O的半径长为_______．
2.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是________
3.如图,在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离OD=3cm，求⊙O的半径?
4.如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为OD，延长OD交⊙O与点C，OD=CD，则⊙O半径的长是多少?
5.如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为OD，延长OD交⊙O于点C，且CD＝l则⊙O半径的长是多少?
B组题：
1.（赵州桥桥拱问题）1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
2．如图所示,有一座拱桥是圆弧形,
它的跨度为60米,拱高18米,当洪
水泛滥到跨度只有30米时,要采取
紧急措施,若拱顶离水面只有4米,
即PN=4米时是否要采取紧急措施?
学生先做后说，并展开师生互动，教师根据学生回答的实际情况，进行点拨。
引导学生归纳常用的添加辅助线方法：
（1）过圆心作弦的垂线
（2）连接圆心和弦的中点
（3）连结半径
教师引导学生审题，发现题目之间的联系与变化，从而找到解题的思路。
给出规范的证明过程的板书，并重点强调解答中垂径定理的几何表述。
教师引导学生将实际问题转化为数学模型，并进一步转化为本节课知识。
可以使用计算器。
学生在独立完成A题组的过程中，加深对定理的理解。并引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。体会解题的重要思路：
（由）垂径定理——构造Rt△——（利用）勾股定理——建立方程
通过归纳添加辅助线方法，学生对垂径定理有了进一步的认识，是知识的一次升华，既培养学生的概括能力，又突出了教学的重点。
可以起到示范的作用，也在向学生强调要重视数学的基本功。
这是一道典型的实际应用题，也是创设情境中的问题，首尾呼应。由于前面设计了练习作台阶，有效地突破难点。这样能让学生体验成功的喜悦，与数学知识应用的价值，建立学习的信心。
B题组通过运用垂径定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活。
活动7说一说
（1）本节课你学到了哪些内容？
（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？
教师引导学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。
学生自由发表对本节课的理解与收获，让学生之间互相交流、互相补充，最后教师根据学生的回答整理如下：
1.垂径定理：
一条直线具有：
①经过圆心得到
②平分弦
①垂直于弦
②平分弦所对的劣弧
③平分弦所对的优弧
2.推论：将条件中的②与结论中的①互换，命题成立。
3.拓展：
①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。 让学生回顾本节课所学知识，经过思考、整理、表达，加深印象，对知识脉络有更清晰的认识，同时养成梳理知识的习惯。
在归纳的同时布置学生于课后思考其他结论的证明，不仅让学生带着问题走出课堂，而其为第二课时内容做铺垫。
作业布置：
教材82页练习第2题:
已知如图：在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足。求证：四边形ADOE为正方形。
教材88页综合运用第10题
如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=300m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=45m，求这段弯路的半径。
3．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，OC=OD，求证：AC=BD
学生独立完成作业，教师批改后应关注：
（1）学生是否深入理解垂径定理及其推论，并能熟练地运用到解题过程中去。
（2）学生解题思路是否完整、清晰，解题过程是否规范。
作业布置紧靠教材，分层设置，各有侧重，让学生能得到巩固与提高。
教师能够及时发现问题并反馈学生的学习情况，以便查漏补缺，优化课堂教学。
七、教学评价：
1．该课坚持“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则.符合把关注学生的发展作为新课程的核心理念。
2．课堂上以学生的思维为主线,始终在学知识的“最近发展区”设置问题，运用问题解决式教学法.经历师生之间、生生之间的互动合作，鼓励学生平等交流、自由发言,充分调动学习积极性。重在培养学生独立思考能力、发现问题与解决问题的能力以及探究式学习的习惯，而教师只不过是学生自我发展的引导者和促进者.
3．设计教学环节时，则以“为学习而设计”“为学生发展而设计”的原则。在紧靠教材的同时，又能大胆根据学生的实际水平将教材内容进行再创造。融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体
A
C
B
O
D
B
A
O
C
A
B
A/
B/
P
N
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