分式的化简
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
一、比例的性质：
⑴比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.
⑵更比性（交换比例的内项或外项）：
⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：
⑷合比性：，推广：（为任意实数）
⑸等比性：如果，那么（）
二、基本运算
分式的乘法：
分式的除法：
乘方：(为正整数)
整数指数幂运算性质：
⑴(、为整数)
⑵(、为整数)
⑶(为整数)
⑷(，、为整数)
负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数
分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、分式的化简求值
先化简再求值：，其中
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖南郴州
【解析】原式
当时，原式
【答案】
已知：，其中
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】
先化简，再求值：
，其中
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，安徽省中考
【解析】
当时，原式
【答案】
先化简，再求值：
其中.
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题
【解析】原式
当时，原式
【答案】3
先化简，再求值：，其中.
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题
【解析】原式
当时，原式．
【答案】4
先化简，后求值：，其中．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题
【解析】=
=
=
当时，原式.
【答案】
先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题
【解析】原式，当时，原式。
【答案】
先化简，再计算：，其中．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题
【解析】原式
【答案】
当时，求代数式的值
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式
【答案】
先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题
【解析】原式
当时，原式
【答案】0，2，4，6
先化简：，当时，再从的范围内选取一个合适的整数代入求值．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题
【解析】原式
在中，可取的整数为，而当时，
①若，分式无意义；
②若，分式无意义；
③若，分式无意义．
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
【答案】a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
已知将它们组合成或的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中．
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，河南省中考试题
【解析】选一：
当时，原式
选二：，
当时，原式
【答案】选一：当时，原式
选二：当时，原式
先化简，再求值:，其中
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式
当时，原式
本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算
的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
【答案】
已知，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，顺义一模试题
【解析】
当，时，原式=．
【答案】1
已知，试求的值．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题
【解析】∵，
∴，，
而
∴
【答案】
先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题
【解析】原式当时，
【答案】2
化简，再求值：.其中,.
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，黄石市中考试题
【解析】原式
∵
∴原式
∴
【答案】
先化简，再求值：，其中
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，宣武一模试题
【解析】原式
当时，原式
【答案】
先化简，再求值：，其中
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，广西桂林中考试题
【解析】原式
当
原式
【答案】1
求代数式的值，其中，，
【考点】分式的化简求值【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
．
∴当，，时，原式．
【答案】
二、条件等式化简求值
已知：（），求的值．
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，石景山二模
【解析】由得
原式
当时，
原式
【答案】
已知满足，则的值为（）
A.1B.C.D.
【考点】【难度】4星
【题型】选择
【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题
【解析】B；由得，
∴
【答案】
已知：，求的值
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】
已知：，求代数式的值．
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，丰台一模
【解析】原式==
=．
∵，∴．
∴原式=．
【答案】1
已知，求的值．
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，海淀一模
【解析】
．
当时，.
原式.
【答案】
已知，求的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】，∴，∴或，
由题意可知:，或.
【答案】
已知，求代数式的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，海淀二模
【解析】，．
∴．
∴原式
．
【答案】
已知，求的值．【考点】【难度】星
【题型】
【关键词】两边平方，整理得，，．
则
已知，求的值．
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，东城二模
【解析】
=
=
=.
∵，∴.
∴=.
∴原式
【答案】3
已知，，求代数式的值
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】（法1）注意将未知数划归统一，，
（法2），，
【答案】3
已知，求的值．
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛
【解析】，所以．
【答案】2
已知，，，求证：
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由已知可得，则，所以或
∵,，∴，则
【答案】
已知：，求的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】清华附中暑假作业
【解析】变形可得：，所以或，所以或.
【答案】或
已知，求的值．
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试
【解析】由已知可得：，，故原式.
【答案】
已知分式的值是，如果用，的相反数代入这个分式，那么所得的值为，则、是什么关系？
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由题可知：
由②得：．
∴，∴．
所以的关系为互为相反数．
【答案】的关系为互为相反数
已知：，且．试用表示．
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】∵，∴由，得：．
由，得：．
∵，∴，
∴．
【答案】
已知：，，且，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由题意可知：，解得，
【答案】
已知方程组:()，求：
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】把看作已知数，解关于、的方程组，解得，，所以.
【答案】
若，()，求的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】全国初数数学竞赛
【解析】由，得，代入得原式.
【答案】
设自然数、、、满足条件，求的最小值．
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】黄冈市初中数学竞赛
【解析】，，，，从而是的倍数，当
【答案】1157
设有理数都不为0，且，
则的值为___________。
【考点】【难度】4星
【题型】填空
【关键词】1996年，武汉市初中数学竞赛试题
【解析】由，得，∴.
同理，.故原式
【答案】0
已知实数、、满足与
，则的值是．
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】年，青少年数学国际城市邀请赛，个人赛
【解析】因为，所以，
所以，．
故
．
【答案】
已知非零实数满足。求证：
（1）
（2）。
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】2005年，北京市初二数学竞赛试题
【解析】（1）由，得，
∴。于是，
故。
（2）∵，
同理，。
∴
【答案】9
2、设参辅助求值
已知，则___________．
【考点】【难度】3星
【题型】填空
【关键词】“希望杯”试题【解析】令，，，故原式；
【答案】
若，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设，则，，，
故，故.
若，则；若，则.
【答案】或
化简：
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设，，
则有，
，
.
故原式
.
【答案】1
已知，
求分式的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设，则已知条件化为
展开并化简可得，.
又，
故.
从而.
于是可得.
【答案】1
已知，则=____________.
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】五羊杯试题【解析】设，则有
，求得，，.故.
【答案】
已知，则=__________.
【考点】【难度】3星
【题型】填空
【关键词】重庆市数学竞赛试题【解析】由，可得，可得，则.
【答案】
设，，
则___________．
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】“五羊杯”试题【解析】令，则有
可得，可得，
由、可得，，
代入、可得，，
又，故
故．
【答案】2
若，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】天津市竞赛题【解析】设
则，，，三式相加可得，
若，则，；
若，则.
【答案】8或
已知．求的值．
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】可得
⑴如果分子，则由分母推得．此时，
．
⑵如果分子，则，．
此时，．
【答案】4或
已知，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设，则有
故
.
【答案】0
已知，，都是互不相等的非零实数，，中至少有一个不为零，且.
求证：.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设，则有
不妨设，由、消去可得
由、消去可得
由、消去可得
故
由，，，互不相等可知，．
【答案】0
已知，且，则
的值等于（）
A.9B.10C.8D.7
【考点】【难度】5星
【题型】选择【关键词】第届，“希望杯”试题【解析】设，又，
故
又
，故，选A．
【答案】A
已知，求证：.
【考点】【难度】6星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略【答案】设，则，，，所以
.
因为，，所以.
同理可得，从而.
已知，
求的值。
【考点】【难度】6星
【题型】解答
【解析】设，则。
已知的等式可化为：，
化简得①
∵，∴②
由①、②得，故，
于是，得
【答案】1
2.整体置换
已知，求的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，门头沟一模
【解析】
=
=
=
当时，原式
【答案】
已知，，则
【考点】【难度】2星
【题型】填空
【关键词】2010年，湖北省黄冈市中考试题【解析】略
【解析】
已知，求代数式的值.
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】
已知，求代数式的值．
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，密云二模【解析】（本小题满分5分）
．
∵，∴．
∴原式．
【答案】1
已知，求的值．
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，朝阳二模【解析】原式
当时，原式
【答案】
当时，求代数式的值．
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】2010年，昌平二模【解析】（本小题满分5分）
当时，原式=2.
【答案】2
已知，求代数式的值.
【考点】【难度】2星
【题型】解答
【关键词】
【解析】.
【答案】
已知，求的值．
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010年，崇文一模【解析】解：
=
=
∵，∴
∴原式=1．
【答案】1
已知：，求代数式的值．
【考点】【难度】3星
【题型】解答【关键词】2010年，石景山一模【解析】原式
当时，
原式
【答案】
已知：，，求的值.
【考点】【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】
已知，求代数式的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】.
【答案】
已知：，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由可得，
【答案】
设，求
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】新加坡中学生数学竞赛【解析】由，知，则.
【答案】
设，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由，知，则.
【答案】
如果，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】.
【答案】0
已知，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】(法1)：由可得，，即，
(法2)：根据题意可得，，所以(分式的分子分母同除以)
【答案】
已知，，为实数，且，，，求.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】第11届，“希望杯”试题【解析】由已知可知，三式相加得，，
故.
【答案】
已知，则代数式的值为_________．
【考点】【难度】4星
【题型】填空
【关键词】2010年，广西省桂林市中考试题【答案】7
已知：，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】∵，∴，∴
【答案】9
已知：，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】∵，∴，即，
【答案】
已知为实数，且，则=__________．
【考点】【难度】4星
【题型】填空
【关键词】
【解析】．
【答案】2
设，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】∵，∴，∴，所以
【答案】
若，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】，分析可得，，
则，则
，
【答案】
若，求的值.
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】2005年，山东省潍坊市中考试题【解析】由可知，，，故.
【答案】
【补充】若，则=___________．
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】“希望杯”试题【解析】解析：由，故．
【答案】
已知是的根，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】因为是的根，所以
所以
利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.
【答案】
已知：，求
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】广西省竞赛试题【解析】
利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.
【答案】1
设，其中，则
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】湖北黄冈市初级数学竞赛【解析】∵，∴，于是，即，
，
【答案】
设，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】1994年，四川省初中数学竞赛试题【解析】由条件知，因而，即，
【答案】
已知：，求⑴；⑵；⑶的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】⑴∵，∴，∴，即
⑵∵，∴，∴
⑶∵，∴，∴
【答案】
已知：，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由，可知，得，即
【答案】
已知：，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】∵，∴，∴，∴，∴
【答案】
【补充】若，则________．
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】
【解析】由，
故原式．
【答案】1
已知：，且，求的值.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】上海市高中理科实验班招生试题【解析】由条件知：，又，即，解得
【答案】
已知，且，求.
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】第17届，江苏省竞赛试题【解析】由已知可得，，解得
【答案】
已知代数式，当时，值为1，求该代数式当时的值．
【考点】【难度】4星
【题型】解答
【关键词】第11届，“希望杯”邀请赛试题【解析】当时，；
当时，
【答案】
4.其他条件等式化简求值
已知，求的值。
【考点】【难度】5星
【题型】解答
【关键词】1996年，天津市初中数学竞赛
【解析】由，得，∴
故
【答案】1
已知，
那么的值为__________。
【考点】【难度】5星
【题型】填空
【关键词】吉林省初中数学竞赛预赛试题
【解析】；由，得，
故.
∴
【答案】
已知，求下面代数式的值：
.
【考点】【难度】6星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式
【答案】1
若，则=______．
【考点】【难度】6星
【题型】填空
【关键词】北京市初中数学竞赛题
【解析】初一看此题，不是很好下手，考虑到已知条件和待求式之间的关系，可考虑在已知条件的左右两边乘以，展开之后必然含有待求式，然后再对其求解．
由可知，
，展开有
，
故.
【答案】0
精心整理
精心整理
精心整理
精心整理
精心整理
精心整理
知识点睛
例题精讲
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