2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
150分。考试用时120分钟。
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，，，则=
（A）（B）（C）（D）
（2）若复数，其中i为虚数单位，则=
（A）1+（B）1?（C）?1+（D）?1?i
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.530]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30)根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56（B）60（C）120（D）140
（4）若变量x，y满足，则的最大值是
（A）4（B）9（C）10（D）12
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为
（B）（C）（D）
（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
截直线所得线段的长度是则圆M与圆N的位置关系是（A）（B）（C）（D）
（8）中，角A，，，，，
（A）（B）（C）（D）
（9）已知函数的定义域为R当时，时，；当时，．则=
（A）（B）（C）0（D）2
（10）若函数的图象上存在两点使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直则称具有T性质
（A）（B）（C）（D）第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S
的值为_______．
（12）观察下列等式：
；
；
；
……
照此规律，
=_________．
（13）已知向量，)．若，则实数t的值为________．
（14）已知双曲线E：．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（15）已知函数，其中．若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）（本小题满分12分）
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：
①若，则奖励玩具一个；
②若，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
（17）（本小题满分12分）
设
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面
ABC．
（19）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，是等差数列，且
（）求数列的通项公式；
（），求数列的前n项和
（20）(本小题满分13分)
设，aR．
(Ⅰ)令，求的单调区间；
()已知在x=1处取得极大值求实数a的取值范围
（21）(本小题满分14分)
已知椭圆C：的长轴长为4，焦距为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k''，证明为定值；
(ii)求直线AB的斜率的最小值
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
（1）【解析】由题知AB={1,3,4,5}，所以U(A∪B)={2,6}．故选A（2）【解析】易知z=1+i，所以=1?i，故选B（3），故选D．
（4）【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0,-3)，B(3,-1)，C(0,2)，显然在点B处x2+y2取得最大值10故选C.
（5）【解析】根据三视图可知,四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为，所以该几何体的体积为×1×1×1+故选C.（6）根据已知,如果直线a，b相交，则平面α，β一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面α，β相交，分别位于这两个平面内的直线未必相交，故为充分不必要条件，故选A（）【解析】由题知圆M：，圆心(0,a)到直线的距离，所以，解得a=2圆M，圆N的圆心距|MN|=，两圆半径之差为1，故两圆相交故选B，
所以，所以，即，
又，所以．故选C．
（9）当时，所以，即f(x+1)=f(x)，所以f(6)=f(5)=f(4)==f(1)=-f(-1)=2．
（10）【解析】设两切点坐标分别为，选项A中，，，当，时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B，C，D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为故选A第一次运行，i=1，S=-1；第二次运行，i=2，S=-1；第三次运行，i=3，S=1，符合判断条件，故输出的S的值为1根据已知，归纳可得结果为n(n+1)．
（13）【解析】根据已知,a2=2，a·b=10由a(ta+b)，得a·(ta+b)=ta2+a·b=2t+10=0，解得t=-5如图,由题意不妨设|AB|=3，则|BC|=2设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|=2c=2，故=由双曲线的定义可得，而，所以双曲线的离心率
（15）【解析】由题意，当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．
综上，的取值范围为．
图1图2
（16）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集一一对应.因为中元素个数是，，）记“”为事件.
则事件包含的基本事件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以，，.
（Ⅱ）记“”为事件，“”为事件.
则事件包含的基本事件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以，．
则事件包含的基本事件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以，．因为，（17））由
由得
所以，的单调递增区间是
（或）
（Ⅱ）由（）知
把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
即
所以
（18）【解析】（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。
（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面．
（19）【解析】()由题意知当时，，当=1时，=11，所以设数列的公差为，由，得，可解得=4，=3．所以．(Ⅱ)由()知=3(+1)·．又=，所以=3×[2×22+3×23++(n+1)×2n+1]，2=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]，两式作差，得=3×[2×22+23+24+…+2n+1(n+1)×2n+2]=3×[4+(n+1)×2n+2]=-3n·2n+2，所以=3n·2n+2．（20）x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意.
④当时，即，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
（21）【解析】()设椭圆的半焦距为，由题意知，
所以，所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)设，由M(0,m)，可得
所以直线PM的斜率，直线QM的斜率．
此时，所以为定值3．
(ii)设，直线PA的方程为，直线QB的方程为.
联立，整理得.
由可得，所以，
同理.
所以，
，
所以
由，可知k>0，所以，等号当且仅当时取得.
此时，即，符号题意．
所以直线AB的斜率的最小值为．
1
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