《反比例函数的意义》教案+教案说明

《反比例函数的意义》





教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级下册第17.1.1．

教

学

目

标 1.理解反比例函数的意义； 2.能判断给定的函数式是否为反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想. 教学重点 理解反比例函数的意义. 教学难点 确定反比例函数的解析式. 教学方式 合作探究与启发引导相结合. 教学手段 多媒体辅助教学.

教学过程

教学

环节 教学内容 师生活动 设计意图



（一）

复

习

引

入





之前我们学习了函数的相关知识，上周给大家布置了复习函数相关知识的任务，现在让我们一起来回顾函数的有关概念！

教师活动：提问学生回答函数、变量和函数值的概念，教师对学生给予肯定和鼓励.

通过提问学生，复习函数的有关概念，建立新旧知识的联系，为本节内容的学习作铺垫.











（二）

探

索

新

知





















































（二）

探

索

新

知





















































（二）

探

索

新

知









1．情境问题

播放CCTV关于“武广高铁”开通的新闻报道.

问题1广州和武汉相距约1068公里，随着科技的发展，交通工具的提速大大缩短了行车时间.

（1）乘坐时速为97千米/时的普通列车，从广州到武汉大约要多少时间？乘坐时速为356千米/时的高铁，从广州到武汉大约要多少时间？

（2）广州到武汉所需时间(单位：)与列车的行车速度(单位：)可用怎样的函数解析式来表示？

问题2下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同特点？

（1）某住宅小区要种植一个面积为1000的矩形草坪，草坪的长（单位：）随宽（单位：）的变化而变化；

（2）已知北京市的总面积为平方千米，人均占有的土地面积（单位：平方千米/人）随全市总人口（单位：人）的变化而变化.



2.引导探究

探究过程中学生可能会遇到如下问题：

①如何将实际问题数学化；

②如何想到用方程思想建立函数关系式.



3.合作交流，形成概念

（1）回顾正比例函数的概念及解析式；

（2）观察问题中的三个函数式的特点.

，，.

活动1：以两人为一小组合作交流，归纳出反比例函数的概念.

形成概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是的反比例函数.

正比例函数与反比例函数的比较：两种函数的解析式的相同点是自变量都只有一个，即，都只有一个常数，且.不同点是在于自变量的位置不同，正比例函数的解析式是整式，常数是自变量的系数，而反比例函数的解析式是分式，自变量处在分母的位置，常数处在分子的位置.



4.辨析概念，深化理解

活动2：以四人为一小组合作写出答案，并尝试写出反比例函数解析式的其它形式.

下列哪个等式中的是的反比例函数？并指出反比例函数的值.

①，②，③，

④，⑤，⑥，

⑦，⑧，⑨.

总结反比例函数解析式的三种形式：（1），（2），（3）.（都为常数，且）





随堂练习：

①当时，函数是正比例函数；

②当时，函数是反比例函数；

③当时，函数是反比例函数.



活动2答案：②④⑧⑨是反比例函数；

值分别为：，，，.

随堂练习答案：①，②，③.

学生活动：阅读思考并尝试独立求解.



教师活动：巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并适时引导.

大多数学生能将上述问题中的解析式书写正确.分别为：，

，

.



教师活动：

（1）引导学生回顾正比例函数的定义及表达式；

（2）引导学生观察两种函数的解析式有何相同与不同？

（3）引导学生注意理解函数自变量的取值范围（）.





学生活动1：

（1）分组合作，观察发现反比例函数解析式的特征；

（2）尝试归纳反比例函数的概念；

（3）区别正比例函数与反比例函数的解析式的相同点和不同点.



师生活动：引导学生观察正比例函数和反比例函数的相同点和不同点，并归纳解释.



学生活动2：合作解题，并交流陈述解题的依据.





教师活动：提问学生说出答案.部分学生会出现错误，首先要鼓励和肯定学生的思考探究，然后板书反比例函数解析式的三种形式之间的推导转换过程.









师生活动：学生独立完成随堂练习，教师巡视指导.







教师活动：引导学生注意随堂练习③中的.











选用“武广高铁通车”作为情境，引导学生关注国家大事，感受科技发达带来的便利.





















学生已有一些发现和归纳的经验，放手让学生去发现，培养他们的探究意识和能力.











使学生学会模仿归纳数学概念，同时锻炼学生规范表述能力.

























设置活动2辨析概念，深化理解反比例函数解析式的三种形式以及它们之间的转换过程.



















帮助学生理解反比例函数的反比例系数，并学会确定不同形式的解析式中自变量的次数.





































（三）

典

例

剖

析

























































（三）

典

例

剖

析





























1.类比回顾，引入新例

活动3：已知是的正比例函数，当时，.（1）写出与之间的函数解析式；

（2）求当时的值.

解：（1）设，因为当时，所以有：.

解得.

因此.

（2）把代入，得

.

变式1：把已知条件中的“是的正比例函数”改为“是的反比例函数”，即得到例1.

解：（1）设，因为当时，所以有：

.

解得.

因此.

（2）把代入，得

.

2.灵活变式，题组教学

变式2：把已知条件中的“是的正比例函数”改为“与成反比例”；

变式3：把已知条件中的“是的正比例函数”改为“与成反比例”；

变式4：把已知条件中的“是的正比例函数”改为“与成反比例”；

变式5：把已知条件中的“是的正比例函数”改为“与成反比例”.

师生小结：

“与成反比例”则设“”；

“与成反比例”则设“”；

“与成反比例”则设“”；

“与成反比例”则设“”；

辨析说明：

变式2中的并不是的反比例函数，而是的反比例函数；

变式3中的并不是的反比例函数，而是的反比例函数；

变式4中的并不是的反比例函数，应看作是的反比例函数；

变式5中的并不是的反比例函数，应看作是的反比例函数.

学生活动3：审题，尝试独立求解.



师生共识：本题学生都能迅速解答正确，投影学生解题过程后，教师用课件投影出详细解答过程，并扼要说明利用待定系数法解题的步骤.



学生活动：模仿刚才的解题过程，独立求解变式1，即教科书中的例题1.



教师活动：

（1）分析：因为是的反比例函数，所以设，再把和代入上式就可求出常数的值；

（2）巡视学生解完题之后，引导学生模仿解题并板书详细的解题过程.



教师活动：

（1）将例题变式；（2）把学生分成四大组，分别完成变式2～5题；

（3）巡视指导，参与到学生的交流讨论中.



学生活动：

（1）分组合作，探究并解答相应的变式题；

（2）各小组间进行解答竞赛，比比谁做得快又对.



教师活动：

（1）抽取各小组分配做的变式题，用实物投影出来并征求学生的不同意见进行评改；

（2）投影完学生的解答之后，用课件投影出变式2～5的详细解答过程；

（3）对于学生解题中可能出现的问题，教师要引导学生讨论、剖析错误；

（4）教师引导学生去发现并点评变式2～5中的变量之间的成反比关系.

适当修改例题，复习正比例函数的相关知识，搭建知识间的桥梁，为下面反比例函数的学习作铺垫.

















利用变式巧妙引入本节课的例题，锻炼学生的模仿解题能力.





















变式2～5是反比例函数知识的灵活运用；逐一变式，利用题组教学锻炼学生对知识的变通和灵活运用的能力.











培养学生的整体数学思想，并学会辨识变量间的反比例关系.



















（四）

拓

展

应

用























（四）

拓

展

应

用













给我一个支点，我可以撬动地球！——阿基米德.

活动4：几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，设动力为，动力臂为，下表是游戏中几位同学的（单位：牛顿）和（单位：米）的一些值：

学生

小刚

小明

小红

小美





60



30









1.5

2

3



（1）求出关于的函数表达式；

（2）根据函数解析式完成表格.

解：（1）设，因为当时，所以有：

.

解得.

因此.

（2）把代入，得

.

把代入，得

.

把代入，得

.

学生活动：学生审题思考，并尝试独立求解.



教师活动：引导学生联系物理所学的相关知识求解本题.









师生共识：根据杠杆原理，当阻力和阻力臂一定时，其乘积为常数，不妨设为，则动力与动力臂成反比例关系.



教师活动：巡视学生解题后，挑选两位学生的解答过程并用实物投影出来作点评，然后用课件投影出详细的解答过程.

















（1）渗透物理学科中的“杠杆原理”，体现数学的桥梁作用，激发学生对数学的求知热情；





（2）体会函数的表示方法：解析法和列表法；



（3）体会反比例函数的实质：两个变量的积为一个非零常数.

























（五）

小

结

反

思





1.引导学生小结、反思：

（1）什么叫反比例函数？

（2）反比例函数的解析式有哪几种形式？

（3）如何求解反比例函数的解析式？

2.教师归纳、提升：

（1）写出实际问题中的函数关系时注意利用方程的思想；

（2）注意辨析反比例函数解析式的三种形式以及他们之间的转换过程；

（3）学会用待定系数法求反比例函数的解析式，领会变式题型中的成反比例关系.

在学生反思、回答问题的基础上，教师再归纳提升.















使学生体会反比例函数的意义和实质，发展学生应用数学的意识.









（六）

板

书

设

计

§17.1.1反比例函数的意义



1、反比例函数的概念例1（变式2）问题中的三个函数解析式



2、反比例函数解析式的三种形式例1详细解答过程各教学环节中解题方法及错误辨析的简略说明

（七）

分

层

作

业 A层教科书P40练习：1,2,3.

B层已知函数，与成正比例，与成反比例.并且时；时.（1）求与之间的函数关系式；（2）当时的值.

C层发现和搜集所学内容在日常生活中的应用举例，并向大家展示自己的成果.

教案设计说明

反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数。本节的内容是本章的重点知识，是在学习了函数概念、正比例函数、一次函数和分式的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系，研究反比例函数的意义和确定反比例函数的解析式，是以后学习更高层次函数和探究函数与方程、不等式间关系的基础。

通过本节课的学习要使学生能够写出实际问题中的反比例函数的解析式，会用待定系数法求反比例函数的解析式，能够判断一个函数式是否为反比例函数。

本节课的引入，是对课本思考中的问题进行“再创造”；通过多媒体呈现问题情境，以“武广高铁”的开通为背景，提出数学问题。这样设计既可以调动学生的学习热情与积极性，又可以使学生认识到现实生活中处处有数学，从而提高学生应用数学的意识。

整个新知探索部分，由于学生具备了相应知识基础，所以非常注重学生的自我探究，充分让学生去感受知识的发生和形成过程，并利用小组合作的学习方式，培养学生的合作意识。

在归纳出反比例函数的概念和表达式后，及时进行思维辨析训练，巩固理解新授知识的特征，同时又注意与相似知识点的区分。

在例题教学环节通过多层次、多角度例题变式，培养学生思维的广阔性和深刻性；同时利用题组教学锻炼学生的模仿、变通和灵活应用知识的能力。

接下来的素质拓展环节渗透了物理学科中的“杠杆原理”，这样既能体现数学在学科交叉中的桥梁作用，又能激发学生学习数学的兴趣，并且通过本环节还能让学生体会到函数表示方法中的列表法和解析法。

小结部分，先让学生小结反思与自主评价，教师再做归纳点评。这样有利于学生巩固刚获得的知识和技能，有利于学生提高语言表达和归纳能力，有利于学生逐步养成对所学知识及时反思的良好习惯。

在练习设计与作业布置中都体现了分层教学，让不同层次的学生都能主动的参与并都能得到充分的发展，同时也遵循了面向全体与因材施教相结合的教学原则。

整堂课设置给学生充分的时间使学生感受到了自己是课堂的主人教师





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