第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an
+bm+bn（x＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.复习引入平方差公式(a-5)米a米a米5米5米
面积变了吗？新课讲解算一算：看谁算得又快又准.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？x2－12（1）（x＋1)(x－1）
；（2）（m＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y＋z)(5y－z）.m2－22(2m)2
－12(5y)2－z2想一想：这些计算结果有什么特点？新课讲解★平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2也就是说，两个
数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.★公式变形1.（a–b)(a+b)
=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2新课讲解相同为a相反为b，-b平方差公式平方差
公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.适当交换(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2合理加括号注
意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．新课讲解练一练：口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)=_______
__；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b
)(-a-b)=_________.b2-a2a2-b2a2-b2b2-a2新课讲解例1计算：(1)(3x＋2)(3
x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.(2)原式＝(-x)2-
(2y)2＝x2-4y2.解题技巧：应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完
全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．新
课讲解【练习】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n
)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－
7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新课讲解不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.通过合理变形，利用平方差公式
，可以简化运算.例2计算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：(1)
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.（2
）102×98=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4=9996.新课讲解【练习】计算：(1)
51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解：(1)原式=（50＋1）(50－1)=
502-12=2500–1=2499.(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x
+6=3x2-5x-10.新课讲解先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
例3解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×
22＝－15.新课讲解对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？例4解
：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，∴n2-1为整数.即(3n＋1
)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍．解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结
果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．新课讲解1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算（2x+1）（2x-1）等于
（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.两个正方
形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10随堂即练4.利用
平方差公式计算：（2）(3+2a)(－3+2a)；（1）(a+3b)(a-3b)；解：原式=(2a+3)(2a-3)解：原式=a
2－(3b)2=(2a)2－32=a2－9b2.=4a2－9.（3）(－2x2－y)(－2x2+y).解：原式=(-2x2
)2－y2=4x4－y2.随堂即练5.计算：20172－2016×2018.解：20172－2016×2018=2
0172－(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－20172+12=1
.随堂即练6.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+4)；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.
(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(
x4+y4)=x8-y8.随堂即练7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2
－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.随堂即练8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)
＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)观察以上各式并猜想：(1－x
)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)1－xn+1(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋
23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98
＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；-632n＋1－2x100－1随堂即练(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab
2＋b3)＝________．a2－b2a3－b3a4－b4随堂即练两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2内容平方差公式应用时，紧紧抓住“一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用注意课堂总结 |
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