第22章复习数学·新课标（RJ）┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意]一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一2数学·新课标（RJ）一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意]公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；直接开平方配方公式因式分解降次两个不相等两个相等数学·新课标（RJ）(3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)实数根．[注意](1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式；(2)如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能丢掉等号；(3)在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．没有数学·新课标（RJ）第22章复习┃知识归类数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略┃考点攻略┃?考点一一元二次方程的定义数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略?考点二一元二次方程的解法数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略?考点三一元二次方程根的情况[答案]k>－2且k≠－1数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略?考点四变化率型应用题数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略数学·新课标（RJ）第22章复习┃考点攻略?考点五几何图形型应用题数学·新课标（RJ）数学·新课标（RJ）－
4．一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.
[注意]它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.
[答案]2
例1已知方程(m＋2)x＋2mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________.
[解析]由题意得所以解得m＝2.
当一元二次方程二次项系数含参数时，切记二次项系数不能为0，而且“未知数的最高次数是2”指的是将方程化简后未知数的最高次数是2，不能从表面形式上判断．
例2分别使用配方法、公式法、因式分解法解方程：
3(x－)2＝5x(x－)．
解：方法一(配方法)：
整理，得2x2＋x＝9，
化二次项系数为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋2＝＋，即2＝，
两边开平方，得x＋＝±，
解得x1＝，x2＝－.
方法二(公式法)：
整理，得2x2＋x－9＝0，
因为a＝2，b＝，c＝－9，b2－4ac＝()2－4×2×(－9)＝75>0，
所以x＝＝＝，
解得x1＝，x2＝－.
方法三(因式分解法)：移项，得3(x－)2－5x(x－)＝0，
因式分解，得(x－)[3(x－)－5x]＝0，
即(x－)(2x＋3)＝0，
所以x－＝0或2x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝－.
解方程时，若方程缺少常数项或方程的右边为0，优先考虑因式分解法；(x－m)2＝n或a2＝b2结构时优先考虑直接开平方法；当方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，优先考虑配方法；以上三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解．
例3已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
根的判别式主要应用：(1)不解方程，判别一元二次方程根的情况；(2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取值(范围)．在解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为0.
[解析]因为当a≠0，b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，即k＋1≠0，b2－4ac＝22－4(k＋1)×(－1)＝8＋4k>0，
∴k≠－1，k>－2.
∴k的取值范围是k>－2且k≠－1.
例42010年某市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，在2012年全市国民生产总值达到1726亿元．
(1)求全市国民生产总值的年平均增长率(精确到1%)；
(2)求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元(精确到1亿元)?
解：(1)设年平均增长率为x，根据题意，得1376(1＋x)2＝1726，
解得x1≈0.12，x2≈－2.12(不合题意，舍去)．
(2)1376×(1＋0.12)≈1541.12，
1376＋1541.12＋1726≈4643(亿元)．
答：年平均增长率为12%,2010年至2012年全市三年国民生产总值为4643亿元．
[解析]本题属于增长率问题，设年平均增长率为x，可得2012年全市国民生产总值为1376(1＋x)2，从而列出方程求解．
增长率(或降低率)的问题在实际生活中普遍存在，解决此类问题要记住：在存在基础量a的前提下，若连续增长(或降低)n次，且平均增长(或降低)率为x，则增长后的数量为a(1＋x)n(或降低后的数量为a(1－x)n)，要特别注意1与x的位置不要调换．另外，求得结果后还要注意解的合理性，正确取舍．
例5如图22－1所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
图22－1
解：设小正方形的边长为xcm.
由题意得，10×8－4x2＝80%×10×8.
解得x1＝2，x2＝－2.
经检验，x1＝2符合题意，x2＝－2不符合题意舍去．
∴x＝2.
答：截去的小正方形的边长为2cm.
[解析]本题是一道和矩形有关的问题．根据阴影部分的面积等于原矩形面积减去四个全等的小正方形的面积之和及图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，可以列出一元二次方程来解决问题．
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