第五章相交线与平行线
第1讲相交线
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1．对顶角定义及其性质
2．邻补角定义及其性质
3．垂直定义、性质及其画法
4．垂线段和点到直线的距离的概念，理解并掌捱“垂线段最短”的性质
【板块一】相交线
题型一对顶角与邻补角的概念
方法技巧
1．判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边的反向延长线．
2．判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为反向延长线．
【例1】判断题:
(1)若两个角有一条公共边，且这两个角相等，则这两个角互为对顶角； ()
(2)若两个角有一条公共边，且这两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角； ()
(3)三条直线最多把平面分成7个部分． (()
题型二对顶角邻补角的性质
方法技巧
(1)对顶角相等；
(2)角α的邻补角为180°－α
【例2】如图，直线a、b、c两两相交，3＝21，2＝x°，|x－155|＝－|310－2x|，求4的度数．
题型三运用方程思想求角
方法技巧
题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解．
【例3】如图，直线AB，CD相交于点O，DOE＝30°，OF平分COE，如果AOD∶∠BOE＝41，求AOF的度数．
题型四利用整体思想求角
方法技巧
具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解．
【例4】如图，直线AB，CE交于点O，AOD＝120°，OH平分EOD，OF平分COD，求HOF的度数．
题型五分类讨论思想求角
【例5】如图，直线AB和CD相交于点O，OE把AOC分成两部分，且AOE∶∠EOC＝35，EOF＝BOF，若BOF＝AOE＋45°，求BOF．
题型六相交线的规律探究问题
【例6】l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点．如果在这个平面内再画第3条直线l3，那么这3条直线最多可有个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有6个交点．由此可以猜想:在同一平面内，6条直线最多可有个交点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有个交点(用含n的代数式表示)．
针对练习1
1．观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角):
(1)如图1，图中共有对对顶角；
(2)如图2，图中共有对对顶角；
(3)如图3，图中共有对对顶角；
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角?
(5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角?
2．如图，直线AB、CD、EF交于点O，OE平分AOM，OD平分BON，若MON＝100°，求COF的度数．
3．如图，直线MD、CN交于点O，OA是MOC内的一条射线，OB是NOD内的一条射线，MON＝70°．
(1)若AOC＝30°，BOD＝COD，求BON的度数；
(2)若AOD＝2BOD，BOC＝3AOC，求BON的度数．
4．如图，直线AB，CD交于点O，AOD比AOC的2倍还多30°，AOE＝2AOC，求DOE的度数．
5．如图1，点O在直线AB上，AOE＝α°，若关于x，y的多项式:ax2y－50xy2＋axy＋1－60xy中不含x，y的二次项．
(1)求AOE的度数；
(2)作射线OC，使AOC＝100°，求EOC的度数；
(3)如图2，将直线AB绕点O逆时针旋转，AOC＜120°，若OM平分COE，ON平分BOD，求MON的度数．
【板块二】垂线
题型一垂线的画法与计算
方法技巧
1．过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器．用这两种工具时，应掌握以下要领：
一贴：将三角形的一条直角边紧贴在已知直线上，或将量角器的0°刻度线与已知直线重合；
二过：使三角板的另一直角边经过已知点，或使量角器的90°刻度线经过已知点和另一点；
三画：沿已知点所在直角边画出所求直线，或用量角器的直边连接已知点和另一点．
2．画垂线时，常在垂足处打上垂直符号“”，便于识别和应用．
3．注意等积(面积)法求高或底．
【例1】如图，在△ABC中，AB＝39，BC＝25，AC＝56，过点A作BC的垂线交CB延长线于点D．
(1)过点B作AC的垂线，垂足为点E；过点C作AB的垂线，垂足为点F，画出图形；
(2)若AD＝，求BE，CF的长；
(3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征?
题型二运用方程思想求与垂直有关的角度问题．
方法技巧
1．将线的垂直关系转化为特殊角——90°．
2．理清题目中多个未知量之间的数量关系，巧设未知数，列方程求解．
【例2】直线AB，EF交于点O，OCAB，OM平分EOB，若COM＝2EOC，求AOE的度数．
题型三整体思想求角
方法技巧
多个具有某种确定数量关系的未知角的问题，可以巧设一个或两个未知数，运用角的和或差整体求角．
【例3】如图，AOB＝120°，OCOD，OE平分DOB，OM平分AOC，OM的反向延长线为射线ON．求EON的度数．
题型四分类讨论思想求角
方法技巧
1．无图或关键线没有画出的题目，考虑是否有多种情形，运用分类讨论法求解．
2．分类讨论的标准有：线在角的内部或外部；一条射线在另一条射线的左边还是右边，上面还是下面等．
【例4】如图，AOB＝110°，OD为AOB内一条射线，AOE＝DOE，DOF＝BOF．求EOF的度数．
题型五垂线的性质及其应用
方法技巧
1．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成“垂线段最短"．
【例5】在△ABC中，BC＝6，AC＝＝3，过点C作CPAB，垂足为点P，则CP长的最大值为(C)
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据垂线段最短得出结论．
【解答】根据垂线段最短可知PC≤3．CP长的最大值为3，故选C．
针对练习2
1．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点A到BC的距离是线段AD的长度，点B到AC的距离是线段_______的长度，点C到AB的距离是线段________的长度．若BF＝3cm，CF＝4cm，BC＝5cm，则F到BC边的距离为________cm．
2．点P为直线l外的一点，点A，B，C在直线l上，PA＝5，PB＝4，PC＝3，则点P到直线l的距离( )
A．大于等于3 B．等于3 C．小于3 D．小于等于3
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OEOF，OD平分AOE，下列结论：
BOE的余角是AOE，补角是BOF；AOD＝DOE＝AOE；
BOE＝2COF；BOF＝COF．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是AOC的平分线，OFCD，OGOE，BOD＝52°．
(1)求AOF的度数；
(2)EOF与BOG是否相等呢?请说明理由；
(3)直接写出图中AOE的所有余角．
5．如图，OBAC，垂足为点O，EOF＝120°，OC平分EON，OF平分AON．求BOE的度数。
6．如图，已知AOB和COD的两边分别互相垂直，且COD比AOB的3倍少60°，求COD的度数．
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