第2讲相交线与平行线
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1．三线八角．
2．平行线与平行公理．
3．平行线的判定．
4．平行线的性质．
5．平移．
【板块一】平行线的判定
题型一三线八角
方法技巧
1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)．
3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．
【例1】在1至8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．
题型二平行公理及其推论
方法技巧
(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．
(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．
【例2】下列说法中正确的是(B)．
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．因为ab，cd，所以ad
D．一条直线的平行线只有一条
【】
◆题型四平行线的判定方法＋平行公理推论证平行
【】°，∠EFC＝∠DCG，试说明：AD∥EF.
◆题型五作辅助线证折线中的平行关系
方法技巧
有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.
【】
针对练习1
1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是()
A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
2.平面上有2018条直线，若a1⊥a2，a2⊥a3，a3∥a4，a4∥a5，a5⊥a6，a6⊥a7，…，那么a1和a2018的位置关系是_________.
3.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，请说明理由.
4.如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，N，直线PTM，MQN＝BMQ＋QND，AMT＝QND.
(1)求证：МРNQ；(2)АВСD.
5.在长方形ABCD中.
(1)如图1，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，AE⊥BD于点E，P是BD上一动点，连接CP，当CP为何值时，CP∥AE?说明理由；
(2)如图2，若∠ADB＝20°，P为BC上一动点，将三角形ABP沿AP翻折到三角形AEP位置，当∠BAP等于多少度时AE∥BD?说明理由.
【】【】°；④∠DEB＝2∠ABC，其中结论正确的个数有哪些?说明理由.
◆题型二利用角平分线的性质与判定进行计算与证明
方法技巧
利用已知得可知，思考结论看需知.
【】°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG.
(1)说明：DC∥AB；(2)求∠PFH的度数.
◆题型三平行线间的距离
方法技巧
1.平行线间的距离处处相等.
2.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离.
3.夹在两平行线间的图形的等积变换.
【】
◆题型四命题
方法技巧
(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.
(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a＝b，那么a2＝b2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题.
(3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.
(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗?”就不是命题.
【】°，∠1＋∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度数.
2.如图，点E在AB上，点F在CD上，EC交AD于点G，BF交AD于点H，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)试说明AB∥CD；
(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B＋60°，求∠C的度数.
3.如图，点F在CA的延长线上，点E在CD的延长线上，已知AB∥CD，∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线，∠ADB＝110°，求∠BDE的度数.
4.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离()
A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于7
5.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D两点，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB，其中正确的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
6.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是()
A.108B.96C.84D.72
7.如图1，将线段AB平移至CD，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC.
(1)填空：AB与CD的位置关系为_________，BC与AD的位置关系为___________；
(2)点G，E都在直线DC上，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于点F.
①如图2，若G，E为射线DC上的点，∠FAG＝30°，求∠B的度数；
②如图3，若G，E为射线CD上的点，∠FAG＝α，求∠C的度数(结果用含α的式子表示).
【】【】如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN.
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠3＝__________(角平分线定义).
∵AB∥CD，
∴∴∠BCD＝________（____________）.
∴∠ABC＝∠EDF，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝________（____________）
∴BM∥DN（____________）
◆题型二阅读理解和运用
【】
(1)如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是_________；
°，则这两个角分别是多少度?
针对练习3
1.完成下面的证明：如图，点D、E、F分别在线段AB、BC、AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1＋∠2＝180°，求证：∠B＝∠BED.
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠1＋∠BEM＝180°(平角定义)，
∴∠2＝∠BEM(___________)，
∴DM∥_________(_________________)
∴∠ADM＝∠B(_________________)
∠MDE＝∠BED(_________________)
又∵DM平分∠ADE(已知)，
∴∠ADM＝∠MDE(角平分线定义)，
∴∠B＝∠BED(_________________).
2.探究：如图1，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F.若∠ABC＝40°，求∠DEF的度数.
请将下面的解答过程补充完整.
解：∵DE∥BC(已知)，
∴_________________(两直线平行，内错角相等)
∵EF∥AB(已知)，
∴∠ABC＝∠EFC(_____________)，
∴∠DEF＝∠ABC＝40°(等量代换).
应用：如图2，四边形BDEF中，BF∥DE，DB∥EF，∠F＝2∠D－50°，点C在线段BF上，若∠FCE＝∠CEF＋10°，求∠CEF的度数.
【】°或a＋b＝180°的题目中，寻找第二对a＋c＝90°或a＋c＝180°，得出b＝c.
【】°.
(1)求证：DE∥BC；
(2)如果∠AMD＝80°，∠AHE＝70°，∠EHB与∠MGC的平分线交于点P，求∠HPG的度数.
◆题型二运用等式的性质证角相等
方法技巧
1.若a＝b，b＝c，则a＝c；2.若a＝b，则a＋c＝b＋c.
【】
◆题型三反复运用平行线的判定与性质导角
【】
◆题型四作适当的辅助线构造中间等角
方法技巧
有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角.
【】
题型三设两个未知数，列关系式求解
方法技巧
题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解．
【例3】如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．
（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，延长DE至点F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C－140°，求∠C的度数．
题型四设两个未知数列一个方程巧解角的度数
题目中有两个独立未知角，只有一个等戏，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角．
【例4】已知AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上两点，点G在AB，CD之间，连接MG，NG，点E是AB上方一点，连接EM，EN，且GM的延长线平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN＋∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
针对练习7
1．如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点N，F在直线CD上，PE平分∠AEN，FH∥EN，延长PF到点G，FG平分∠DFH，若∠PFC＝∠AEP＋10°，求∠BEN的度数．
2．如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，延长AD，BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH多少度时，∠GDC＝∠ADH?
3．如图，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若2∠F－∠E＝10°，求∠ABE的度数．
【板块八】分类讨论思想求角
题型一按照点的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论．
【例1】已知AB∥CD，∠BAD＝50°，点P在直线AD上，E为UD上一点
（1）如图1，当点P在线段AD延长线上时，求证：∠PEC－∠APE＝130°；
（2）如图2，当点P在直线AD上运动时（不与点A，D重合），求∠APE与∠PEC之间
的数量关系．
题型二按照线的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
按照动线的不同位置来分类讨论求角．
【例2】一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为．
题型三分类讨论求角之间的关系
方法技巧
点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系
【例3】如图，已知AB/CD、BE平分ABD，DE平分/BDC
（1)求证：BE⊥DE;
（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD交CD于点I，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由．
针对练习8
1．如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少80°，则这两个角的度数分别是．
2．如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠BEF<150°，点P为直线EF左侧平面上一点，且∠BEP＝150°，∠EPF＝50°，则∠DFP的度数是．
3．(1)如图1，F是OC边上一点，求证：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；
（2）如图2，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【板块九】平移
题型一平移定义
方法技巧
1．图形的平移必须具备两个要素：平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离．
2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。
【例1】下列运动中属于平移的是（）
A．急刹车时汽车在地面上的滑动B．冷水加热时小气泡上升变为大气泡
C．随风飘动的风等在空中的运动D．随手抛出的彩球的运动
题型二平移性质
（1）平移得到的图形与原图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等；对应点的连线平行（或共线）且相等；
（2）“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移动了相同的距离”。
【例2】如图所示是重叠的两个直角三角形，将直角△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，求图中阴影部分的面积。
题型三平移作图
方法技巧
平移作图的步骤：（1）找出能表示原图形的关键点；（2）将原图形中的某个关键点与其平移后的位置点连接起来；（3）过其他关键点分别作线段，使得它们与确定线段平行且相等，再连接这些关键点的对应点，所得的图形就是原图形平移后的图形．
【例3】如图，网格中每个小正方形边长为1，三角形ABC的顶点都在格点上．将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A''B''C''．
（1）请在图中画出平移后的三角形A''B''C''；
（2）画出平移后的三角形A''B''C’的中线BD''；
（3）若连接BB’，CC，则这两条线段的关系是；
（4）三角形ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为；
（5）若三角形ABC与三角形ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有
个．
题型四平移中几何综合问题
方法技巧
善于运用平移性质结合平行线性质及技巧探究几何综合题．
【例4】如图，点C，M，N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．
（1）试说明AD∥BC；
（2）试求∠CAN的度数；
（3）平移线段BC．
①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化?若不变，请求出这个比值；若不变，请找出相应变化规律；
②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．
针对练习9
1．某宾馆准备在大厅的主楼梯上面铺设某种红地毯．已知这种红地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2．5米，其侧面如图，请你帮忙算一算，此宾馆若购买这种红地毯需花费多少钱?
2．将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距
离是边BC长的2倍，求图中的四边形ACED的面积．
3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF，并求三角形DEF的面积＝；
（2）在AB上找一点M，使CM平分三角形ABC的面积；
（3)在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有个．
4．已知l1∥l2，点A，B在1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，∠α＝70°，∠β＝80°．
（1）如图1求∠AEC的度数；
（2）如图2，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．
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