第六章实数
第3讲实数
【板块一】平方根与算术平方根
知识导航
1．平方根的概念；
2．平方根的性质；
3．算术平方根的概念；
4．算术平方根的性质；
5．并平方，利用平方粮的概念解一些特殊的一元二次方程；
6．利用算术平方根的非负性解题
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解掌握算术平方根的概念．
题型一平方根的概念
【例1】求下列各数的平方根：
(1)(－3)2；(2)；(3)1；(4)0．
【练．1】求下列鑫数的平方辊。
（1）25；（2）；（3）；（4）|－9|
题型二算术平方很的概念
【例2】（1）(2018年·武汉四调）计算的结果为（）
A．2B．一4C．4D．8
（2）的算术平方根是．
(3)的平方根是．
题型三平方根的性质
【例3】如果a－12与2a－3都是正数m的平方根，(a－12≠2a－3)，试求m的值．
【练2】(1)一个非负数的平方根是2a－1和a－5，则这个非负数是多少?(2)2a－1与－a＋2是m的平方根，求m的值．
题型四开平方[例4]计算:(1)；(2)；(3)．
【练3】下列说法是否准确?为什么?(1)7是49的算术平方根；(2)是的一个平方根；(3)的平方根是－4；(4)0的平方根与算术平方根都是0．
题型五?用开平方法解方程【例5】求下列各式中x的值:(1)2＝162；(2)36－16＝0．
【练4】求下列各式中x的值:(1)＝289；(2)4－81＝0．
题型六?运用算术平方根的双重非负性解题【例6】(1)已知z，y是实数，且＋＝0，则xy＝（）A．4B．－4C．D－(2)已知＋＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋＝＝a－1
【练5】(1)若实数x，y满足＋2＝0，则x＋y＝．(2)已知＋＋＝＝0，求的值．题型七?利用有意义的条件解题【例7】(1)已知y＝＋＋10，求2x＋y的平方根．
(2)已知a满足＋＝a，求a－的值．
【练6】若＋＝y－4，求ry的算术平方根．
针对练习1
1．(1)的平方根是；的平方根是．(2)169的算术平方根是；的算术平方根是(3)若a的平方根是±5，则＝．
2．已知x，y为实数，且y＝－，则x－y＝．
3．若2m－3与m＋6表示同一个数的平方根，求m的值．4．观察下列各式的规律:①2＝；②3＝；③4＝，…，若10＝，则a＝．
5．(五羊杯试题)设[x]表示最接近x的整数(x≠n＋05，n为整数)，则[]＋[]＋[]＋…＋[]＝()A．5151B．5150C．5050D．5049
6．(数学周报杯试题)已知非零实数a，b满足＋＋＋4＝2a，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．27．若a，b满足3＋5＝7，则S＝2－3的取值范围是．8．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作:
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，(1)对81只需进行次操作后变为1．(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
板块二立方根知识导航1．立方根的概念；2．开立方；3．立方根的性质；4．立方根与平方根的区别；5．运用立方根的概念解特殊的方程．
运用立方根的概念与性质进行解题．题型一立方根的概念例1(1)(2017年·武汉四调摸拟)计算的结果为()A．2B．－4C．4D．8
(2)求下列各数的立方根．(1)－1；(2)
【练1求下列各数的立方根:(1)－343；(2)15
题型二开立方[例2]求下列各式的值:(1)；(2)；(3)；
（1）－（2）（3）
题型三立方根的性质
【例3】若和互为相反数，试求x＋y的值.
【练3】（1）已知x－2的平方根是士2，2x＋y＋7的立方根是3，求＋的算术平方根；
（2）如果为a－3b的算术平方根，为的立方根，求2a－3b的立方根.
题型四利用开立方解方程
【例4】求下列各式中x的值：
（1）－2＝；（2）64－27＝0.
【练4】求下列各式中x的值：
（1）125＝－8；（2）＝8；（3）＋0.316＝
题型五平方根与立方根的区别与联系
【例5】已知5x－2的立方根是－3，求x＋69的平方根.
【练5】已知＝1－，求a的值。
针对练习2
1.若＝，则x＝______；若＝－x，则____；的平方根是____.
2.已知2a－1的立方根是3，3a＋b＋5的平方根是±7，c是的整数部分，则a＋2b－2的平方根是________.
3.若＝4，则＝____；若＝4.098，且＝40.98，则x＝____.
4.求下列各式的值：
（1）；（2）－；（3）；（4）.
5.a＋1的平方根是士4，3b＋1的立方根是－2，求2a＋b的立方根。
6.若x，y，m适合关系式＋＝＋，试求m一4的算术平方根.
7.已知正数m的平方根为＋2a－4和3－2a，是n的立方根，p是的小数部分，求m＋n＋p.
【板块三】实数
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1.实数的大小比较；用无理数的近似值来进行比较；通过乘方将一些无理数转化为有理教进数行比较.
2.实数的估算：通过与相近的有理数比较来估算无理数的近似值.
3.整数部分和小数部分，小数x由其整数部分和小数部分组成，若整数部分是a，则小教部分是x－a.
4.实数的性质：
有理数和无理数具有下面的基本性质：两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）都是有理数；一个无理数与一个非零有理数的和、差、积、商都是无理数；一个无理数与某个有理数相乘，如果其结果为有理数，那么只能是0.
题型一有理数与无理数的概念
【例1】下列说法正确的是（）
A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数
C.无限不循环小数都是无理数D.无理数都是开方开不尽的数
【练1】下列各数中：，0，－，，，，，，无理数有（）
B.1个C.2个D.3个
题型二实数的概念
【例2】下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？
①3.14；②0.1010010001…；③；④；⑤；⑥0；⑦；⑧；⑨；⑩
【练2】在实数，0，，，0.1010010001…，中，无理数的个数是（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
题型三实数的分类
【例3】下列各数中，3.14159，－，0.131131113，－，，－，无理数有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【练3】把下列各数填入相应的集合内：
，4，，，，0.15，－7.5，－，0.30303
（1）有理数集合：{…}；
（2）无理数集合：{…}；
（3）正实数集合：{…}；
（4）负实数集合：{…}；
题型四实数的计算
例4计算：（1）（2）＋（3）－＋＋－
【练4】计算：
（1）||－||
（2）（＋＋）×
（3）＋－＋
题型五实数与化简
【例5】实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，化简|a－1|＋＝______.
【练5】己知实数a，b在数轴上表示的点如图所示，试化简下列各式：
＋|ab|；②|a＋b|＋|a－b|.
题型六实数的应用
【例6】某所间的面积为17.6㎡，房间地面给好由10块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
【练6】(二中广雅期中)将一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着平行于边的方向剪出一块长方形纸片，甲的方案是：长方形的面积是300cm2，且长与宽的比3：2；乙的方案是：长方形的面积为150cm2，且长与宽的比是5：3，问甲、乙两人的方案是否可行？并说明理由．
题型七实数的大小比较
【例7】比较－与－4的大小．
【练7】你能比较下列各对数的大小吗？
(1)2．7与＋1(2)＋2与－2(3)3与2
题型八利用“夹逼法“求整数部分和小数部分
【例8】(1)估计的值()．
A．在2与3之间B．在3与4之间C．在4与5之间D．在5与6之间
(2)估计的取值范围()
A．在2与3之间B．在3与4之间C．在4与5之间D．在5与6之间
(3)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
【练8】(1)估算的值()
A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间
(2)已知5＋的小数部分为a，5－的小数部分为b．求：①a＋b的值；②a－b的值．
题型九利用表格探究平方根与立方根的规律
【例9】观察下面表格：
x 16 16．1 16．2 16．3 16．4 16．5 16．6 16．7 16．8 x2 256 259．21 262．44 265．69 268．96 272．25 275．56 278．89 282．24
根据上表回答问题：
(1)272．25的平方根是；
(2)＝，＝，＝；
(3)设的整数部分为a，求－4a的立方根．
针对练习3
1．若x＋＝0，则＋等于()
A．2xB．－2xC．0D．无法确定
2．(汉阳区期中)若的整数部分为a，小数部分为b，求a2＋b－的值是．
3．已知x，y是实数，且(2x＋y－6)2与互为相反数，则平方根是．
4．猜想立方根
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？
13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729
请你按下面的问题试一试：
(1)103＝1000，l003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：位数．
(2)由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？答：____
(3)如果划去59319后面的3位数319得到59，而33<59<43，由此你能确定59319立方根的十位数字是几吗？答：，因此，59319的立方根是39．根据这种方法，你能确定19683的立方根吗？
(4)小智是这样求出19683的立方根的，先估计19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是．
(5)请根据(4)中小智的方法，完成如下填空：
117649＝，378248＝，0．581441＝．
5．(洪山区期中)求一个数的立方根，有些可以直接求，如＝2，有些数则不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 0．008 8 8000 80000000 …… 0．2 2 20 200 ……
(1)已知≈1．295，≈2．785，＝6，运用你发现的规律，求＝；
(2)＝，＝，＝；
(3)已知＝10．1，则＝；
(4)已知＝1．215，＝3．843，则＝．
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