规律探索题典例精讲类型一数式规律例1、观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个
数是____.【思维教练】观察式子，分子为连续的正整数，且分子与分数序号相同，分母为从3开始的连续的奇数，且分母比分子的2倍多1，
由此可推出第10个数.【解析】观察各个分数，不难发现：分子与分数序号相同，分母比序号的2倍多1，所以第10个数为.例2（2016
恩施州）观察下列等式：1+2+3+4+…+n=n(n+1)；1+3+6+10+…+n（n+1）=n(n+1)(n+2)；1+4+1
0+20+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)；则有：1+5+15+35+…+n(n+1)(n+2)(n
+3)=____.【思维教练】观察等式右边存在一组有规律的因式：n(n+1)，n(n+1)(n+2)，n(n+1)(n+2)(n
+3)，…，因式项依次多加一项；其系数的规律是第n个等式的系数是上一个等式的系数乘，由此可推出所求式子结果.【解析
】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为=1×，因式为n(n+1)；第二个等式的右边系数为=×，因式为n(n+1
)(n+2)；第三个等式的右边系数为=×，因式为n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四个等式的右边系数为×=
，因式为n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，结果为.【答案】满分技法数式规律探索主要有以下3类：1.数字规律探索：（1
）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，
然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符
号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；（2）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断
出分子和分母的数字规律（其方法同（1）），从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律.2.数阵规律探索：此类题目中的数据与
有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：（1）
分析数阵中的数字排列方式：①每行的个数；②每列的个数；③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质（如
完全平方数，正整数）等；（2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系；（3）使用①中找出的具有特殊性质的数字，根据（2）中
的性质定位，求得答案.3.等式规律探索：第一步：标序数；第二步：对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数（1，2，3，4，…，
n）之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系；第
三步：根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.典例精讲类型二图形规律一、图形累加规律探索例3、如图是一组有规律的图案，它们是
由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）.例3题
图【思维教练】观察图形，易知后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，依此规律即可求出第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数.
【解析】序数123…n涂阴影的小正方形个数5913……图形之间的变化规律55+4×15+4×2…5+4（n-1）＝4n+1【答案】
4n+1满分技法解答图形累加规律探索的方法：第一步,写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”第二步,数图形个数：在图形数量
变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步,寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的表示个数与前
一个图形的个数进行比对，通常作差来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；第四步,验证：代入序号验证所归
纳的式子是否正确.典例精讲二、图形成倍递变规律探索例4、如图①，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积
为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图②中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各
边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图③中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积为___
_____.例4题图【思维教练】要得到第n个正六角星形的面积，通过观察前一个正六角星形与后一个正六角星形之间的面积关系，由于前后两
个正六角星形相似，可根据相似图形面积之比等于相似比的平方得到面积关系，找出规律即可.【解析】很容易知道正六角星形A1F1B1D1C
1E1与正六角星形AFBDCE相似，且相似比是1∶2，所以它们的面积比为1∶4，同理，正六角星形A2F2B2D2C2E2与正六角星
形A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是1∶2，所以它们的面积比为1∶4，由这些规律得正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积
为1×()n=.【答案】满分技法图形成倍递变规律探索的常考类型有：1.点坐标成倍递变：（1）根据图形的变换
规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点，第4个点的坐标，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；（2）根据（1）
中得到的倍分关系，得到第M个点坐标.2.线段（面积）成倍递变:已知一个几何图形的边长（面积），通过递推确定第M次变换后的图形的边长
（面积）.（1）根据题意可得出第一次变换前的边长（面积）为b；（2）通过计算得到第一次变换后的边长（面积），第二次变换后的边长（面
积），第三次变换后的边长（面积），第四次变换后的边长（面积），归纳出后一个边长（面积）与前一个边长（面积）之间存在的倍分关系是n；
（3）第M次变换后，求得线段的长度（面积）为nMb.典例精讲三、图形循环规律探索例5如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方
向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点
为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是_____，点P2016的坐标是_____.例5题图【思维教练】要确定
点P3的坐标，可根据入射角与反射角的定义作出图形，依次确定P1,P2，进而得到P3的坐标，继续作图，可知每6次反弹为一个循环组依次
循环，根据循环规律即可确定P2016的坐标.【解析】如解图，经过6次反弹后小球回到出发点P（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，
点P3的坐标为（8，3），∵2016÷6＝336，∴当点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，此时，点P20
16的坐标为（0，3）.例5题解图【答案】（8，3），（0，3）满分技法图形循环规律探索主要考查类型有3种：1.点坐标变换在坐标轴
上或象限内循环递推变化，求第M个点的坐标；2.图形循环变换类，求经过M次变换后对应的点坐标或图形；3.几何图形循环旋转变换，通过M
次变换后，求起始点到终点的线段长.对于此类问题，一般解题思路为：①先观察点坐标（图形）变化的规律是顺时针（逆时针）循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为n；②用M÷n=W……q（0≤q＜n)，则第M次变换后的点坐标（图形）就是一个循环变换中第q次变化对应的点坐标（图形），或存在一定的倍分关系；③根据题意找出第q次变换后对应的点坐标（图形），即可推断出第M个（次）变换后对应的点坐标（图形）. |
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