中考线动型探究专项测试题1.如图，已知矩形ABCD，AB＝，BC＝3，在BC上取两点E，F(E在F左边)，以EF为边作等边三角形PEF，使
顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H.(1)求△PEF的边长；(2)若△PEF的边EF在射线BC上移动，(点E的移动范围
在B、C之间，不与B、C两点重合)，设BE＝x，PH＝y.①求y与x的函数关系式；②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关
系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S.第1题图2.已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12c
m，BD＝16cm，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作E
F⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．(1)填空：AB＝________
cm；(2)当t为何值时，PE∥BD；(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)．①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面
积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE＝S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(9分)如
图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度
向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、
F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AE
DF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时
刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．4.(12分)如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，
tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段CE绕点C顺时
针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、
Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？(3)如图③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点E
的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．第4题图参考答案与解析：1．
解：(1)如解图①，过点P作PQ⊥BC于点Q，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ＝AB＝，∵△
PEF是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，在Rt△PQF中，sin∠PFQ＝，∴PF＝÷＝2，第1题解图①∴△PEF的边长为2；(
2)①在Rt△ABC中，AB＝，BC＝3，由勾股定理得，AC＝2，∴∠ACB＝30°，又∵△PEF是等边三角形，∴∠PFE＝60°
，∴∠FHC＝30°，∴FH＝FC，∵HF＝2－PH＝2－y，∴FC＝2－y，又∵BE＋EF＋FC＝BC，∴x＋2＋2－y＝3，即
y＝x＋1(0＜x＜3)；②如解图②，过点G作GM⊥BC于点M，∵△PEF为等边三角形，∴∠PEF＝60°，∵Rt△ABC中，AB
＝，BC＝3，第1题解图②∴∠ACB＝30°，∴∠EGC＝180°－30°－60°＝90°，∵BE＝x，∴EC＝3－x，∴EG＝
，∵∠GEM＝60°，sin∠GEM＝，∴GM＝EG·sin60°＝×＝，∴S＝x×＝－x2＋x＝－(x－)2＋，∵－＜0，∴当x
＝时，S最大＝.2．解：(1)10；【解法提示】如解图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝1
6cm，∴BO＝DO＝8cm，AO＝CO＝6cm，∴AB＝＝10cm.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠A
DB＝∠CDB，又∵PF∥AD，∴四边形APFD为平行四边形，∴DF＝AP＝tcm，又∵EF⊥BD于点Q，且∠ADB＝∠CDB，
∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝tcm，∴AE＝(10－t)cm，当PE∥BD时，△APE∽△ABD，∴＝，∴＝，∴t＝5
，∴当t＝5s时，PE∥BD；(3)①∵∠FDQ＝∠CDO，∠FQD＝∠COD＝90°，∴△DFQ∽△DCO，∴＝，即＝，∴QF
＝cm，∴EF＝2QF＝cm，同理，QD＝cm，如解图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD＝AB·CG＝AC·BD，
即10CG＝×12×16，第2题解图∴CG＝cm，∴S?APFD＝DF·CG＝tcm2，∴S△EFD＝EF·QD＝××＝t2
cm2，∴y＝t－t2.②存在．当S四边形APFE＝S菱形ABCD时，则t－t2＝×12×16×，整理得，t2－20t＋64＝0
，解得t1＝4，t2＝16＞10(舍去)，∴当t＝4s时，S四边形APFE＝S菱形ABCD.3．(1)证明：如解图①，连接DE，D
F，当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点，∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，又∵AD⊥BC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝D
E＝DF，∴四边形AEDF为菱形；第3题解图(2)解：如解图②，连接PE，PF，由(1)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝
，即＝，解得EF＝10－t，∴S△PEF＝EF·DH＝(10－t)·2t＝－t2＋10t＝－(t－2)2＋10(0＜t≤)，∴当t
＝2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP＝3t＝6cm；(3)解：存在．(ⅰ)若点E为直角顶点，如解图③，
连接PE，PF，此时PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t.∵PE∥AD，∴△BEP∽△BAD，∴＝，即＝，此比例式不成立，故此
种情形不存在；第3题解图(ⅱ)若点F为直角顶点，如解图④，连接PE，PF，此时PF∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝1
0－3t.∵PF∥AD，∴△CFP∽△CAD，∴＝，即＝，解得t＝；(ⅲ)若点P为直角顶点，如解图⑤，连接PE，PF，过点E作EM
⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD.∵EM∥AD，∴△BEM∽△BAD，∴＝，即＝
，解得BM＝t，∴PM＝BP－BM＝3t－t＝t.在Rt△EMP中，由勾股定理得，＝(2t)2＋(t)2＝t2.∵FN∥AD，∴△
CFN∽△CAD，∴＝，即＝，解得CN＝t，∴PN＝BC－BP－CN＝10－3t－t＝10－t.在Rt△FNP中，由勾股定理得，＝
(2t)2＋(10－t)2＝t2－85t＋100.又∵EF＝MN＝BC－BM－CN＝10－t，在Rt△PEF中，由勾股定理得，，即
(10－t)2＝t2＋(t2－85t＋100)，化简得183t2－280t＝0，解得t＝或t＝0(舍去)，∴t＝.综上所述，当t＝
秒或t＝秒时，△PEF为直角三角形．(9分)4．(1)证明：∵∠ECF＝∠BCD＝α，∴∠ECF－∠ECD＝∠BCD－∠ECD，即
∠DCF＝∠BCE.∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC，在△DCF与△BCE中，，∴△DCF≌△BCE(SAS)，∴BE＝DF；
(2)解：∵CE＝CF，∴∠CEQ<90°.①当∠EQP＝90°时，如解图①，∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，∴△B
CD∽△ECF，∴∠CBD＝∠CEF.∵∠BPC＝∠EPQ，第4题解图①∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∴∠CED＝90°，在Rt
△CDE中，∠CED＝90°，∵CD＝AB＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴＝2，即EC＝2DE，∵，即CD＝DE，∴D
E＝＝＝6，∴t＝6；②当∠EPQ＝90°时，如解图②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC和AC重合，第4题解图②∴DE＝
6，∴t＝6.综上所述，当t＝6秒或6秒时，△EPQ为直角三角形；(3)解：y＝t－12－.【解法提示】点G即为t＝0时点E的对
应点．当点F在直线AD上方时，如解图③，连接GF，分别交直线AD、BC的延长线于点M、N，过F点作FH⊥AD，垂足为H，由(1)得
∠1＝∠2.易证△DCE≌△GCF(SAS)，∴∠3＝∠4，∵DE∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴GF∥CD，∴四边形DCN
M为平行四边形，易得MN＝6.∵∠BCD＝∠DCG，∠DCN＋∠BCD＝∠DCG＋∠CGN＝180°，∴∠CGN＝∠DCN＝∠CNG，∴CN＝CG＝CD＝6.∵tan∠ABC＝2，∴tan∠CGN＝2，∴GN＝12，∴GM＝6＋12.第4题解图③∵GF＝DE＝t×1＝t，∴FM＝t－6－12.∵tan∠FMH＝tan∠ABC＝2，∴FH＝(t－6－12)，即y＝t－12－.读未来百家号读未来：1页 |
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