李善兰之三角垛“一乘支垛积”说(1)上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：
《十三种》之最基础之级数表乃为〈三角垛表〉，其横列乃为两项式定理﹝Binomialtheorem﹞之系数，清?李善兰之〈三角垛表
〉主要表达从右上至左下所形成之级数系列。一乘支垛者，乃“三角一乘垛”之分支。关键词：三角垛表元垛一乘垛一乘支垛第1节李
善兰之三角垛一乘支垛表本文取自清?李善兰（1810年－1882年）之《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞之〈垛积比类?卷一?三角
垛第一〉。《十三种》之最基础之级数表乃为〈三角垛表〉。注意〈三角垛表〉之横列乃为两项式定理﹝Binomialtheorem﹞之系
数，即(x+y)n展式之系数，n即〈三角垛表〉之“层数”。笔者有文名为〈李善兰之“三角垛第一”说〉谈及三角垛之性质，本文
乃其延续。〈三角垛表〉右方第二斜列为“三角一乘垛”，以下为“三角一乘垛”之特色：一乘垛：1,2,3,4,……n，第n
项和为1+2+3+4+5+……+n==(n+1)n。为配合答案之一般形式，写成：n(n+
1)。“一乘支垛”者，“三角一乘垛”之分支也，因“一乘支垛”各序列之和均含n(n+1)之因子，遂有此名。“一乘支垛”造表之
法先在左方斜上填上1,2,2,…，在右方斜上填上1，将左右两数相加填在下方之方格内即成，见下表。《十三种》曰：第二层右一
左二为表根，三层以下如三角垛表法。“一乘支垛表”可列成以下之表：12345678910111213141516太1方21一231二
2541三27951四29161461五211253020712133655502781215499110577359176414
0196182112441019812043363782941565410028554071467245021065一乘支垛表﹝等
腰三角形表﹞之形成法如下：先列出左斜之1、2、2、2……，第二层右1左2二数是为“表根”，再列出右斜之1，从第二列开始左
右两数相加即得下层之数，步骤重复即可得上表，此即为“倒等腰三角形加法”。上表形成多个级数，主要之级数乃从右上至左下，颜色相同之方格
形成一数列，其余级数可类推。为节省篇幅，“二乘方支垛表”可改列成下表。所有级数垂直排列，A为太垛，B为方垛，C为一垛，D为
二垛，……N为十二垛。I至N栏不在上表中。其他列与栏可依次列出。太方一二三四五六七八九十十一十二ABCDEFGHIJKL
MN1---------------------------------------21---------------------
---------------231---------------------------------2541----------
--------------------27951---------------------------29161461-----
-------------------21125302071---------------------2133655502781-
-----------------2154991105773591---------------21764140196182112
44101------------2198120433637829415654111---------22110028554071
467245021065121------22312138582512541386112266027577131---225144
5061210207926402508178293535290141上表除第一栏之1、2及斜之1外，其余数字以矩形加法而得
，例如3，等于其上列之1及1左方2相加而得，其余可类推。以下为《十三种》之一乘支垛表：第2节三角一乘支垛积算法
及公式以下为一乘支垛表所含之级数及其第n项和，此即李善兰所云之“有高求积术”。前级数之第n项和成为下级数之第n项：太垛
：1,2,2,2,…2很明显，第n项和为1+2(n–1)=2n–1。方垛：1,3,5,7,
…2n–1，是为奇数级数。第n项和为1+3+5+7+…+2n–1=–1)=2–n=
2×n(n+1)–n=n2+n–n=n2。以上之式即《十三种》曰：方垛以高自乘即得。“高”即“层数”即第n
项。《十三种》曰：称之为方垛者，逐层并之，皆成平方积也。意指相加后即成平方数。一垛：1,4,9,16,…n2，是为平方
数级数第n项和为1+4+9+25+…+n2==n(n+1)(2n+1)﹝见笔者另文﹞。为配
合答案之一般形式，写成：n(n+1)(2n+1)。以上之式即《十三种》曰：第一垛倍高加一，以高乘之，又以高加一乘之为实，二
三相乘为法，即得。第一垛倍高加一，即(2n+1)；以高乘之，即n(2n+1)；又以高加一乘之为实，即n(2n+1
)(n+1)；二三相乘即6为法，即除以6。“实”即分子或被除数，“法”即分母或除数。二垛：1,5,14,30,
…n(n+1)(2n+1)第n项和为1+5+14+30+…n(n+1)(2n+1)=r(
r+1)(2r+1)=3+3r2+r)=[2×n2(n+1)2+3×n(n+1)(2n+1
)+n(n+1)]=[n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]=n(n
+1)[n(n+1)+2n+1+1]=n(n+1)(n2+3n+2)=n(n+1)2(n
+2)。为配合答案之一般形式，写成：n(n+1)(n+2)(2n+2)。以上之式即《十三种》曰：第二垛倍高加二，以
高乘之，又以高加二乘之，又以高加一乘之，为实，二三四相乘为法，即得。倍高加二，即(2n+2)；以高乘之，即n(2n+2
)；又以高加二乘之，即n(2n+2)(n+2)；又以高加一乘之，即n(2n+2)(n+2)(n+1)；为实，二
三四相乘为法，即以4！为除数。以下为一乘支垛之方垛、第一与第二垛图：三垛：1,6,20,50,…n(n+1)2(n
+2)第n项和为1+6+20+50+…+n(n+1)(n+2)(2n+2)=r(r+
1)(r+2)(2r+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)(2n+3)。答案根据规律而写出。以上之式即
《十三种》曰：第三垛倍高加三，以高乘之，又以高加三乘之，又以高加二乘之，又以高加一乘之，为实，二三四五连乘为法，即得。倍高加三，即
(2n+3)；以高乘之，即n(2n+3)；又以高加三乘之，即n(2n+3)(n+3)；又以高加二乘之，即n(2
n+3)(n+3)(n+2)；又以高加一乘之，即n(2n+3)(n+3)(n+2)(n+1)；为实，二
三四五连乘为法，即以5！为除数。上图最左方之1为第一项1，第二项为6﹝上1下5﹞，第三项为20﹝上1中5
下14﹞，第三项为50﹝上1二5三14下30﹞，其余项类推。四垛：1,7,27,77,…n(n+1
)(n+2)(n+3)(2n+3)第n项和为1+7+27+77+…n(n+1)(n+2
)(n+3)(2n+3)=r(r+1)(r+2)(r+3)(2r+3)=n(n+1)(n+2
)(n+3)(n+4)(2n+4)。以上之式即《十三种》曰：第四垛倍高加四，以高乘之，又以高加四乘之，又以高加三乘之，
又以高加二乘之，又以高加一乘之，为实，二三四五六连乘为法，即得。倍高加四，即(2n+4)；以高乘之，即n(2n+4)；
又以高加四乘之，即n(2n+4)(n+4)；又以高加三乘之，即n(2n+4)(n+4)(n+3)；又以高加二乘
之，即n(2n+4)(n+4)(n+3)(n+2)；又以高加一乘之，即n(2n+4)(n+4)(n+3
)(n+2)(n+1)；为实，二三四五六连乘为法，即以6！为除数。五垛：1,8,35,112,…n(n+1
)(n+2)(n+3)(n+4)(2n+4)第n项和为1+8+35+112+…+n(n+
1)(n+2)(n+3)(n+4)(2n+4)=r(r+1)(r+2)(r+3)(r+4)(2
r+4)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(2n+5)。……从以上之规律可知以下为一般情况：今设p垛之第r项为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p–1)(2r+p–1)，其第n项和为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p–1)(2r+p–1)=n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+p)(2n+p)。以下为《十三种》之原文：-2- |
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