2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第I卷
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，P(AB)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．
柱的体积公式V柱体=Sh的体积公式V=V=1/3Sh
其中S表示柱的底面积其中S表示的底面积，h表示柱的高．h表示的高．
第卷
注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
（1）已知集合则=
（A）（B）（C）（D）
（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为
（A）（B）6（C）10（D）17
（3）在△ABC中，若,BC=3，,则AC=
（A）1（B）2（C）3（D）4
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A）2（B）（C）6（D）8
设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正
整数n，a2n?1+a2n<0”的
（A）充要条件（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
（A）（B）（C）（D）
（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点DE分别AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为
（A）（B）（C）（D）
（8）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
（A）（0，]（B）[，]（C）[，]}（D）[，）}
第II卷
本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则的值为_______.
（10）的展开式中的系数为__________.(用数字作答)
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.
如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE
的长为__________.
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足
f(2|a-1|)＞f（-），则a的取值范围是______.
(14)设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的
垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，
则p的值为_________.
(15)（本小题满分13分）
已知函数f(x)=4tanxsin()cos()—.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[]上的单调性.
（16）（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，
点G为AB的中点，AB=BE=2.
（I）求证：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值；
（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面
CEF所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d。对任意的n,是和的等比中项。
(I)设=，n，求证：数列{}是等差数列；
(II)设=d，T=，n，求证：<.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆+=1（>）的右焦点为F，右顶点为A.已知,其中O为原点，e为椭圆的离心率。
(I)求椭圆的方程；
(II)设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA∠MAO,求直线l的斜率的取值范围。
（20）（本小题满分14分）
设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。
(I)求f(x)的单调区间；
(II)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)=f(x0)，x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
(III)设a＞0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学答案
（1），所以．
（2）,已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知当直线过点B(3,0)时,z取得最小值2×3+5×0=6.
解法二由题意知,约束条件所表示的平面区域的顶点心为A(0,2),B(3,0),
C(1,3).将A,B,C三点的坐标分别代入，得z=10,6,17,故z的最小值为6.
（3）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，a=3，c=C=120°，13=9+b2+3b，b=1，AC=1．故选A．
（4）第一次循环,S=8,n=2;第二次循环,S=2,n=3;第三次循环,S=4,n=4,故输出S的值4
（5），，若，因为得符号不定，所以无法判断的符号；反之，
若，即，可得，故“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件，故选C.
【答案】D
【解析】根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为，圆的方程为，不妨设交点A在第一象限,由，得，故四边形ABCD的面积为解得=12,故所求的双曲线方程为，选D（7）如图,设，根据已知得,所以=，，.故选B.（8）时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，
即在上恰有唯一的实数解．
判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，
此时方程有两个负根，不满足要求；
综上实数的取值范围是．
（9），则，所以，，
（10）
【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为．
（11）()．
（12）
【解析】设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，即，解得．
（13）
【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减
又，可得，即．
(14)【答案】
【解析】抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．
（15）(Ⅰ)的定义域为．
所以的最小正周期
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(16)【解析】()由已知，有.所以，事件A发生的概率为.随机变量的所有可能取值为
，，
.
所以，随机变量分布列为
随机变量的数学期望.
(17)【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，
∵矩形,∴
∵、是中点，∴是的中位线∴且
∵是正方形中心∴∴且
∴四边形是平行四边形∴∵面∴面
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系
，，，
设面的法向量
得：∴
∵面，∴面的法向量
（Ⅲ）∵∴
设
∴，得：
(18)【解析】(Ⅰ)，有，
因此，所以数列是等数列(Ⅱ)
．
所以．
（19）（Ⅰ），由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
（20）【解析】(I)，
下面分两种情况讨论：
①，有恒成立，所以在上单调递增；
②，令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减，在单调递增
(II)存在极值点，所以由(I)知，且．
由题意得，即，
而=
∴
且，由题意及(I)知，存在唯一实数满足，且，
因此，所以
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此上的最大值
，所以.
（2）当时，，由（）和（）知，，，
所以在区间上的取值范围为，因此
时，，
由（）和（）知，，
所以在区间上的取值范围为，因此
．
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．
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