2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1）若复数z满足其中i为虚数单位，则z=
（A）1+2i （B）12i （C） （D）
（2）设集合,则=
（A） （B） （C） （D）
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56 （B）60
（C）120 （D）140
若变量x，y满足则的最大值是
（A）4（B）9（C）10（D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）（B）
（C）（D）
（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是
（A）（B）π（C）（D）2π
（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为
（A）4（B）–4（C）（D）–
（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=
（A）?2（B）?1（C）0（D）2
（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是
（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.
(12)若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=__.
（13）已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的
四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且
2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
（14）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为.
已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程
f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
(17)(本小题满分12分)
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的
一条母线.
（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦
值.
(18).（本小题满分12分）
已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）另求数列的前n项和Tn.
(19)（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX
(20)(本小题满分13分)
已知.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立
本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C：?的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PFG的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学答案
（1）B，．
故==3-2i，，解得，所以．故选B．
光速解法：设，，，的虚部就是z的虚部，实部是z的实部的3倍．故
（2）表示函数的值域，故．由，得，故，所以．故选C．
（3）这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数（4）C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x,y)为平面区域内任意一点，则表示显然，当点P与点A重合时，即取得最大值由,解得，故A(3，1)所以的最大值为32+=10故选C（5）．设半球的半径为，则，即，所以半球的体积．故该几何体的体积．故选C．
（6）相交，设交点为，则，又，所以，故相交．反之，若相交，则可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件（7），故该函数的最小正周期．故选B．
（8）可得，即，
所以．
（9）时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以
（10）A【解析】设函数的图象上两点，，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质,则==1对于A选项，，显然==1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，，显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，>0，显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，≥0，显然==1无解，故该函数不具有T性质故选A
（11）输入a=0,b=9，第一次循环：a=0+1=1，b=9-1=8，i=1+1=2；第二次循环：a=1+2=3，b=8-2=6，i=2+1=3；第三次循环：a=3+3=6，b=6-3=3，a>b成立，所以输出i的值为3(ax2+)5的展开式的通项Tr+1=令得r=2，所以=，解得a=如图,由题意不妨设|AB|=3，则|BC|=2设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|=2c=2，故=由双曲线的定义可得，而，所以双曲线的离心率（14）圆，半径，故由直线与圆相交可得，即，整理得，得．
（15）时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．
综上，的取值范围为．
图1图2
（16）
得，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由
．
所以的最小值为．
（17）【解析】(Ⅰ)设FC的中点为I，连接GI，HI，在中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.
又EFOB，所以GIOB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.
又HI∩GI=I，OB∩BC=B，所以平面GHI平面ABC.因为GH?平面GHI，
所以GH平面ABC.(Ⅱ)解法一连接OO''，则OO''平面ABC.又AB=BC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0).过点F作FM垂直OB于点M，所以FM==3，可得F(0，，3).故=(2，2，0)，=(0，，3).设m=(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m=(1，1，).因为平面ABC的一个法向量n=(0，0，1)，所以cos==.所以二面角F-BC-A的余弦值为.解法二连接OO''过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO''．又OO''平面ABC，所以FM平面ABC可得FM==3过点M作MN垂直BC于点N，连接FN可得FNBC，
从而FNM为二面角F-BC-A的平面角又AB=BC，AC是圆O的直径，所以MN=BMsin45°=，
从而FN=，可得cosFNM=．
所以二面角F-BC-A的余弦值为（18）【解析】()由题意知当时，，当=1时，=11，所以设数列的公差为，由，得，可解得=4，=3．所以．(Ⅱ)由()知=3(+1)·．又=，所以=3×[2×22+3×23++(n+1)×2n+1]，2=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]，两式作差，得=3×[2×22+23+24+…+2n+1(n+1)×2n+2]=3×[4+(n+1)×2n+2]=-3n·2n+2，所以=3n·2n+2．【解析】()记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC．由事件的独立性与互斥性，得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×(×××+×××)=．所以“星队”至少猜对3个成语的概率为．(Ⅱ)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6．由事件的独立性与互斥性，得P(X=0)=×××=，P(X=1)=2×(×××+×××)=，P(X=2)=×××+×××+×××+×××=，P(X=3)=×××+×××==，P(X=4)=2×(×××+×××)==，P(X=6)=×××=．可得随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．的定义域为；
.
当，时，，单调递增；
时，单调递减.
当时，.
（1），，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，
，，
令，.
则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，
设，则在单调递减，
因为，
所以在上使得时，时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于，因此，当且仅当取得等号，
所以，
即对于任意的成立。
(21)【解析】（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（i）设，
由可得，所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得，且，
因此，
得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
1
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