第3讲三角形与角平分线
知识导航
1.三角形内外角平分线夹角模型；
2.其它常见角平分线夹角模型.
【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型
方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型
模型一三角形两内角平分线夹角
【例1】如图，点P是△ABC两条内角平分线的交点，求证:∠P＝90°＋∠A.
【例2】已知在△ABC中，∠A＝60°.
(1)如图1，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，求∠BOC的度数；
(2)如图2，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，则∠BO1C＝__，∠BO2C＝_____；
(3)如图3，∠ABC，∠ACB的n等分线交于点O1，O2，……On－1.
则∠BO1C＝_______，∠BOn－1C＝__________.(用含n的代数式)
模型二三角形两外角平分线夹角
【例3】如图，点P是△ABC两条外角平分线的交点，求证:∠P＝90°－∠A.
模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角
【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠ACD.求证:∠P＝∠A.
针对练习1
1.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数.
2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数.
3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.
【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型
◆方法技巧◆
角平分长性质＋三角形内角和定理十三角形外角性质＋整体思想，化归思想＋设参数计算
模型四◆角平分线＋高线夹角模型(设参计算＋整体思想)
【例5】(1)已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如图1，设∠B＝x，∠C＝y，试用x，y表示∠DAE，并说明理由；
(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D"，试用x，y表示∠DFE＝_________；
(3)在图3中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x，y表示∠DFE＝_______；
(4)在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4，试用x，y表示∠P＝_____.
模型五燕尾形双角平分(设参计算＋整体思想)
【例6】如图，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，它们交于点P.求证:∠P＝(∠A＋∠D).
模型六蝶形(8字形)双角平分(设参计算＋整体思想)
【例7】(1)模型:如图1，AD，BC交于O点.求证:∠D＋∠C＝∠A＋∠B.
(2)模型应用:如图2，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E的度数是______；
②直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是:__________；
(3)类比应用:如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D＝m°，∠B＝n°，(m＜n).求∠E的度数.(用含有m，n的式子表示)
针对练习2
1.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠P＝20°，∠D＝10°，求∠A的度数.
2.如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I.
(1)写出∠I与∠A，∠D之间的数量关系式并证明；
(2)直接写出∠I与∠A，∠D之间的数量关系式为___________.
|
|
