第10讲一线三等角模型及应用
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“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧．
一、“一线三等角”的基本构图：
二、“一线三等角”的基本性质：
1．如果1＝2＝3，那么D＝CBE，ABD＝E．
2．如果图中△ABD与△CEB中有一组对应边相等，则有△ABDCEB．
三、“一线三等角”的基本应用：
本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角．
【方法技巧】
用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．
【板块一】直角型“一线三等角”——“三垂直”
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直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．
【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，BAC＝90°，过点A作直线l,过B，C分别作BDl于D，CEl于E．
（1）如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE＝BD＋CE；
（2）当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE＝BD－CE；
（3）当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE，BD，CE三者之间的数量关系式为___________．
图1图2图3
【例2】如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AFAE且AF＝AE，BF交AC于D．
（1）如图1，求证：点D为BF中点；
（2）如图1，求证：BE＝2CD；
（3）如图2，若＝，则＝____．
针对练习1
1．（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，ACBC，A（0，3），C（1，0），求点B的坐标．
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，ACBC，A（－1，0），C（1，3），求点B的坐标．
（3）如图3，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，ACBC，B（2，2），C（4，－2），求点A的坐标．
【板块二】等边三角形中的“一线三等角”
【例3】如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB，BC，AC上的点，DEF=60°，BD=CE，求证：BE=CF
针对练习2
1．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，AFE＝60°．
求证：AD＝BE
【板块三】等腰直角三角形中的“一线三等角”
【例4】如图，在等腰Rt△ABC中，ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC上的点，且CD=DE，CDF=45°，求证：BD＝BC
针对练习3
1．如图，在四边形ABCD中，ADC＝C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AEAB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积。
2．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD，ABC＝2C＝2a，点E在AD上，点F在DC上,
(1）如图1，若a=45°，BDC的度数为;
（2）如图2,当a＝45°，BEF＝90°时，求证：EB＝EF;
（3）如图3，若a＝30，则当BEF=时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果）
3．已知，等腰直角△ABC在平面直角案标系中的位置如图，点A（0，2），点B（－6，0），点C在第四象限．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若AC交x轴于M，BC交y轴手D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DE，求证：AD＋DE=BM;
（3）如图3，在y轴上取点F（0，－6），点H是y轴上F下方任一点，作HGBH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，是否为定值？若是，求其值；若不是，设明理由
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