第11讲手拉手模型及应用
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1．手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶角顶点公共，且顶角相等．得到一对能够旋转重合的全等三角形．
2．手拉手模型的基本构图：等膜△ABC和△DAE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
3．手拉手模型的性质：
(1)三角形全等；(△ABD≌△ACE)
(2)第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；(∠BPC＝∠BAC或∠BPC＋∠BAC＝180°)
(3)第三边或所在直线的交点与顶角顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角．(AP平分∠BPE或∠BPE的邻补角)
【板块一】双等边三角形构成的手拉手模型
【例1】如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边△ABD和等边△ACE，连BE，CD交于P，连接AP．
(1)求证：BE＝CD；
(2)求∠BPD的度数；
(3)求证：PA平分∠DPE．
针对练习1
1．在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，例1中的三个结论还成立吗？请说明理由．
【板块二】双等腰直角三角形构成的手拉手模型
【例2】如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE交于点P．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)判断BD，CE的关系并证明；
(3)连接PA，求∠APB的度数．
【例3】如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC外一点，∠APB＝45°，连PC，求∠APC的度数．
针对练习2
1．在例2的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，BD与CE的关系还成立吗？请说明理由．
2．在例3的条件下，将P点移至BC的下方，∠APB＝45°不变，求∠APC的度数．
【板块三】一般双等腰三角形构成的手拉手模型
【例4】如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝，连BD，CE交于P，连接AP．
(1)求证：BD＝CE；
(2)求∠APB的度数(用表示)；
(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，在图2中画出点P，直接写出∠APB＝(用表示)．
图1图2
针对练习3
1．如图，△AOB和△ACD都是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点C在x轴上．
(1)若OC＝5，求BD的长度；
(2)设BD交x轴于点F，求证：∠OFA＝∠DFA；
(3)若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值．
2．已知△ABC，分别以AB，AC为边作等腰△ABD和等腰△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，G，F分别为DC与BE的中点．
(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠GAF＝，∠AGF＝；如图2，若∠DAB＝45°，期∠AGF＝；
(2)如图3，若∠DAB＝，∠AGF与的数量关系是．(请说明理由)
3．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝，∠DCE＝．
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角与β之间的数量关系是，证明你的结论；
(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角与β之间的数量关系是，请说明理由；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想与之间的数量关系是．
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